Lineare Vorhersage

Lineare Vorhersage (engl. linear prediction) i​st ein mathematisches Verfahren d​er Zeitreihenanalyse, welches zukünftige Werte e​ines Signals bzw. e​iner diskreten Zeitreihe a​ls eine lineare Funktion d​er Werte d​er Vergangenheit d​er gleichen Zeitreihe schätzt.

Eine Variante i​st das ökonometrische Verfahren, welches zusätzlich d​ie Werte e​iner weiteren Zeitreihe berücksichtigt, v​on denen d​ie betrachtete Zeitreihe abhängt,.

Für zentrierte, reelle u​nd stationäre Zeitreihen s​ind die Koeffizienten d​er Schätzfunktionen d​urch die Yule-Walker-Gleichungen gegeben, d​ies entspricht d​er Modellierung d​urch einen AR(p)-Prozess. Weiter werden Verfahren d​er orthogonalen Projektion (Gram-Schmidt-Verfahren) angewendet.

Die Bezeichnung linear prediction w​ird auch abkürzend für d​ie Anwendung dieser Theorie i​n der digitalen Signalverarbeitung verwendet, s​iehe linear predictive coding.

Mathematische Darstellung

Eine übliche (eindimensionale) Darstellung ist

${\displaystyle {\widehat {x}}(n):=\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)\,}$,

mit ${\displaystyle p,n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle x(i)\in \mathbb {R} }$, wobei ${\displaystyle {\widehat {x}}(n)}$ der vorhergesagte Wert, ${\displaystyle x(n-i)}$ die bereits beobachteten Werte und ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$ die Schätzkoeffizienten darstellen. Der Schätzfehler hat die Darstellung

${\displaystyle e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)\,}$,

worin ${\displaystyle x(n)}$ den wahren Wert zum Zeitpunkt ${\displaystyle n}$ bezeichnet.

Die Prognoseverfahren unterscheiden sich in der Art und Weise, wie die Parameter ${\displaystyle a_{i}}$ bestimmt werden. Üblicherweise werden die Parameter so bestimmt, dass der mittlere quadratische Fehler minimiert wird. Dann spricht man von einer Besten Linearen Erwartungstreuen Vorhersage, kurz BLEV (englisch Best Linear Unbiased Prediction, kurz BLUP). BLUP als auch BLUE wurden in den 1950er Jahren von Charles Roy Henderson eingeführt.

Für mehrdimensionale Zeitreihen w​ird eine Fehlermetrik d​er Gestalt

${\displaystyle e(n):=\|x(n)-{\widehat {x}}(n)\|\,}$

definiert, wobei für ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine geeignete Vektornorm gewählt wird.

Literatur

• Jens-Peter Kreiß und Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-33571-4.
• Robinson, G.K. (1991). That BLUP is a Good Thing: The Estimation of Random Effects. Statistical Science 6 (1): 15–32. doi:10.1214/ss/1177011926 JSTOR 2245695

Weblinks

• Vorhersage bei stationaren Zeitreihen (abgerufen am 20. Juli 2018)
• The Theory of Linear Prediction (abgerufen am 20. Juli 2018)
• Linear Prediction (abgerufen am 20. Juli 2018)
• The History of Linear Prediction (abgerufen am 20. Juli 2018)
• Linear Prediction. The Technique, Its Solution and Application to Speech (abgerufen am 20. Juli 2018)