Zerlegungsmethode von Pelczynski

Die Zerlegungsmethode v​on Pelczynski i​st ein mathematischer Satz, d​er für Existenzbeweise v​on Isomorphismen zwischen z​wei Banachräumen verwendet wird. Der Satz w​urde 1960 v​om polnischen Mathematiker Aleksander Pełczyński bewiesen.[1]

Formulierung

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei Banachräume derart, dass ${\displaystyle X}$ isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum des Raumes ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Y}$ wiederum isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ${\displaystyle X}$ ist. Ferner sei eine der folgenden Bedingungen erfüllt:

a) ${\displaystyle X\cong X\oplus X}$ und ${\displaystyle Y\cong Y\oplus Y}$,

b) ${\displaystyle X\cong \ell ^{p}(X)}$ für ein gewisses ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ oder ${\displaystyle X\cong c_{0}(X)}$.

Dann ist der Raum ${\displaystyle X}$ isomorph zu ${\displaystyle Y}$.[2]

Die obigen Symbole ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$ und ${\displaystyle c_{0}(X)}$ bezeichnen die ℓ^p-Summe beziehungsweise c₀-Summe abzählbar vieler Kopien des Raumes ${\displaystyle X}$.

Beweis

Sei ${\displaystyle X\cong Y\oplus E}$ und ${\displaystyle Y\cong X\oplus F}$ für gewisse Banachräume ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$. Unter der Voraussetzung a) existieren Isomorphismen

${\displaystyle X\cong Y\oplus E\cong Y\oplus Y\oplus E\cong Y\oplus X}$

und genauso

${\displaystyle Y\cong X\oplus F\cong X\oplus X\oplus F\cong X\oplus Y}$,

insgesamt also ${\displaystyle X\cong Y}$

Unter der Voraussetzung b) gilt insbesondere ${\displaystyle X\cong X\oplus X}$ und damit ${\displaystyle Y\cong X\oplus F\cong X\oplus X\oplus F\cong X\oplus Y}$. Also gilt

${\displaystyle X\cong \ell ^{p}(X)\cong \ell ^{p}(Y\oplus E)\cong \ell ^{p}(Y)\oplus \ell ^{p}(E)\cong Y\oplus \ell ^{p}(Y)\oplus \ell ^{p}(E)\cong Y\oplus X\cong X\oplus Y\cong Y}$.

Ein analoger Beweis ergibt sich für ${\displaystyle X\cong c_{0}(X)}$.

Anwendungsbeispiele

• Unter Verwendung der Zerlegungsmethode von Pelczynski kann man zeigen, dass jeder unendlichdimensionale, komplementierte Unterbanachraum von ${\displaystyle c_{0}}$ oder ${\displaystyle \ell ^{p}}$ zum Ausgangsraum isomorph ist.[3]
• Mittels der Zerlegungsmethode von Pelczynski kann man beweisen, dass die Banachräume ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ und L^∞([0,1]) isomorph sind[4], sie sind jedoch nicht isometrisch isomorph.

Bemerkungen

• Timothy Gowers hat gezeigt, dass es ein Paar von Banachräumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ gibt, so dass ${\displaystyle X}$ isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Y}$ isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ${\displaystyle X}$ ist, die Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ dagegen nicht isomorph sind. Auf zusätzliche Voraussetzungen wie a) oder b) kann in obigem Satz also nicht verzichtet werden. Das ist die negative Lösung des sogenannten Schröder-Bernstein-Problems für Banachräume.[5]
• Piotr Koszmider hat ein Paar total unzusammenhängender kompakter Räume ${\displaystyle K_{1}}$ und ${\displaystyle K_{2}}$ konstruiert, so dass ${\displaystyle C(K_{1})}$ isometrisch isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ${\displaystyle C(K_{2})}$ ist und umgekehrt, aber die Banachräume ${\displaystyle C(K_{1})}$ und ${\displaystyle C(K_{2})}$ nicht isomorph sind.[6]
• Valentin Ferenczi und Elói Medina Galego haben ein Kontinuum von paarweise nicht-isomorphen Banachräumen konstruiert, so dass für jedes Paar ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ aus dieser Klasse ${\displaystyle X}$ isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Y}$ isomorph zu einem komplementierten, abgeschlossenen Unterraum von ${\displaystyle X}$ ist.[7]
• In der Literatur finden sich weitere Verallgemeinerungen der Zerlegungsmethode von Pelczynski.[8][9]

Einzelnachweise

1. A. Pelczynski: Projections in certain Banach Spaces, Studia Math. (1960), Band 19, Seiten 209–228.
2. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006), ISBN 978-1-4419-2099-7, Seiten 34–36
3. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory, Springer-Verlag (2006), ISBN 978-1-4419-2099-7, Theorem 2.2.4
4. A. Pełczyński: On the isomorphism of the spaces m and M, Bull. Acad. Pol. Sci. (1958), Band 6, Seiten 695–696
5. W. T. Gowers: A solution to the Schroeder-Bernstein problem for Banach spaces, Bull. London Math. Soc. (1996), Band 28, Seiten 297–304
6. P. Koszmider: A C(K) Banach space which does not have the Schroeder-Bernstein property, Studia Math. (2012), Band 212, Seiten 95–117, arxiv:1106.2917.
7. V. Ferenczi, E. M. Galego: Some results about the Schroeder-Bernstein Property for separable Banach spaces, Canad. J. Math. (2007), Band 591, Seiten 63–84.
8. E.M. Galego: Generalizations of Pełczyński’s decomposition method for Banach spaces containing a complemented copy of their squares, Archiv der Mathematik (2008), Band 90-6, Seiten 530–536. doi:10.1007/s00013-008-2568-1
9. E.M. Galego: Towards a maximal extension of Pełczyński’s decomposition method in Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2009), Band 356-1, Seiten 86–95.