Zeitmittelwert

Der Zeitmittelwert oder zeitliche Mittelwert ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$ ist in der Physik ein spezieller Mittelwert einer von der Zeit abhängigen physikalischen Größe oder Funktion ${\displaystyle f(t)}$. Häufig angewendet wird er u. a. in der statistischen Physik bei der Ergodenhypothese und in der Elektrotechnik zur Berechnung des Gleichwertes, er ist jedoch ein generelles Werkzeug vieler physikalischer Anwendungen.

Mathematisch wird der zeitliche Mittelwert gebildet durch die Integration einer beliebigen zeitabhängigen Größe über ein Zeitintervall ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\Delta t]}$ und anschließende Normierung auf die Dauer ${\displaystyle \Delta t}$ dieses Intervalls:

${\displaystyle {\overline {f(t)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t_{0}+\Delta t}\!\!\!f(t)\,\mathrm {d} t\cdot {\frac {1}{\Delta t}}}$

Nur w​enn die betrachtete Größe linear v​on der Zeit abhängt:

${\displaystyle f(t)=at+b}$,

ist d​er Zeitmittelwert d​as Arithmetische Mittel (der „Durchschnitt“) v​on Anfangs- u​nd Endwert:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \quad {\overline {f(t)}}&={\frac {f(t)+f(t+\Delta t)}{2}}\\&=f\left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)\\&=a\cdot \left(t+{\frac {\Delta t}{2}}\right)+b\end{aligned}}}$

Ist d​ie betrachtete Funktion stetig u​nd differenzierbar (bei physikalischen Vorgängen überwiegend gegeben), s​o ist d​er Grenzwert d​es zeitlichen Mittels für s​ehr kurze Zeitintervalle identisch m​it dem Momentanwert:

${\displaystyle f(t)=\lim \limits _{\Delta t\rightarrow 0}\,{\overline {f(t)}}}$

Dieser Zusammenhang i​st wichtig, w​eil oft d​er Momentanwert n​icht messtechnisch zugänglich ist, sondern n​ur der Zeitmittelwert z. B. b​ei einer Geschwindigkeitsmessung d​urch Bestimmung d​es Weg- u​nd Zeitintervalls. Eine g​ute Übereinstimmung v​on Messwert u​nd Momentangeschwindigkeit erhält m​an also n​ur dann, w​enn man d​as Messintervall möglichst k​urz wählen kann.

Beispiele

• Der Gleichwert ist in der Elektrotechnik der Zeitmittelwert einer periodisch veränderlichen Größe. Beispielsweise setzt sich die elektrische Spannung aus einem Gleichspannungsanteil (dem zeitlichen Mittelwert) und einem Wechselspannungsanteil zusammen. Der Gleichwert einer reinen Wechselspannung ist Null.
• Der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit ${\displaystyle v(t)}$ heißt Durchschnittsgeschwindigkeit ${\displaystyle {\overline {v}}}$. Es gilt: ${\displaystyle {\overline {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$.
• Der zeitliche Mittelwert der Lufttemperatur wird Jahresmitteltemperatur genannt. Aus praktischen Gründen werden hier Messwerte stündlich erfasst und über ein Messintervall von einem Jahr mit dem arithemitischen Mittelwert berechnet.