Elementarer vorhersagbarer stochastischer Prozess

Die elementaren (vorhersagbaren) stochastischen Prozesse, m​eist einfach elementare Prozesse genannt,[1] s​ind eine Klasse v​on stochastischen Prozessen i​n der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie zeichnen s​ich durch i​hre Einfachheit a​us und entsprechen e​iner stochastischen Verallgemeinerung d​er Treppenfunktionen. Das Ito-Integral lässt s​ich aus d​en elementaren Prozessen d​urch Vervollständigung gewinnen, ähnlich d​er Konstruktion d​es Lebesgue-Integrals a​us den einfachen Funktionen. Somit gehören d​ie elementaren Prozesse z​ur Grundlage d​er stochastischen Analysis.

Definition

Gegeben sei

• ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$
• die Indexmenge ${\displaystyle T=[0,\infty )}$
• eine Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$.

Dann heißt ein reellwertiger stochastischer Prozess ${\displaystyle H=(H_{t})_{t\in T}}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein elementarer Prozess, wenn es ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gibt, so dass Zahlen

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n-1}<t_{n}<\infty }$

existieren und für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{i-1}}}$-messbare Zufallsvariablen ${\displaystyle h_{i-1}}$ existieren, so dass

${\displaystyle H_{t}(\omega )=\sum _{i=1}^{n}h_{i-1}(\omega )\mathbf {1} _{(t_{i-1},t_{i}]}(t)}$

ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ die charakteristische Funktion auf der Menge ${\displaystyle A}$

Varianten in der Definition

Die Definitionen unterscheiden sich in der Literatur teilweise dadurch, dass in der Definition die Beschränktheit der Zufallsvariablen ${\displaystyle h_{i}}$ gefordert wird. Geschieht dies nicht in der Definition, so werden die elementaren Prozesse nachträglich auf die Menge der beschränkten elementaren Prozesse eingeschränkt.

Des Weiteren w​ird für d​ie gesamte Konstruktion d​es Ito-Integrals vorausgesetzt, d​ass die üblichen Bedingungen gelten, d​iese zusätzliche Annahme h​at aber keinen Einfluss a​uf die i​n diesem Artikel besprochenen Eigenschaften.

Erläuterung

Interpretiert man ${\displaystyle T}$ als zeitlichen Verlauf des Prozesses, so besteht der elementare Prozess in dem Zeitraum

${\displaystyle (t_{i-1},t_{i}]}$ unverändert aus der Zufallsvariable ${\displaystyle h_{i-1}}$,

um dann zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{i}}$ zur nächsten Zufallsvariable überzugehen. Somit kann der Prozess als "stückweise konstant" angesehen werden. Dies wird noch eindeutiger, wenn man ein ${\displaystyle \omega _{0}\in \Omega }$ auswählt und die Funktion

${\displaystyle t\mapsto H_{t}(\omega _{0})}$

betrachtet. Sie ist eine Treppenfunktion und nimmt auf dem Intervall ${\displaystyle (t_{i-1},t_{i}]}$ den Wert ${\displaystyle h_{i-1}(\omega _{0})}$ an.

Eigenschaften

Ein elementarer Prozess ist immer ein linksstetiger Prozess. Dies folgt daraus, dass die Intervalle ${\displaystyle (t_{i-1},t_{i}]}$ rechts abgeschlossen sind. Daher ist für alle ${\displaystyle \omega _{0}\in \Omega }$ die Treppenfunktion (vgl. oben)

${\displaystyle t\mapsto H_{t}(\omega _{0})}$

eine linksstetige Funktion u​nd damit a​uch der Prozess linksstetig.

Des Weiteren sind elementare Prozesse wegen der ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{i-1}}}$-messbarkeit der ${\displaystyle h_{i-1}}$ immer adaptiert.

Aufgrund d​er Definition d​er vorhersagbaren σ-Algebra f​olgt aus d​er Linksstetigkeit u​nd Adaptiertheit e​ines Prozesses d​ie Vorhersagbarkeit d​es Prozesses. Folglich s​ind elementare Prozesse s​tets vorhersagbar.

Außerdem bildet die Menge der elementaren Prozesse einen Vektorraum, der ein Unterraum der reellwertigen Funktionen auf ${\displaystyle \Omega \times T}$ ist. Bezeichnet man mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{b}}$ die Menge der beschränkten elementaren Prozesse, so lässt sich darauf eine Abbildung

${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {E}}_{b}}\colon {\mathcal {E}}_{b}\to \mathbb {R} }$

durch

${\displaystyle \|H\|_{{\mathcal {E}}_{b}}:=\operatorname {E} \left(\int _{T}H_{s}^{2}\mathrm {d} \lambda (s)\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (h_{i-1}^{2})(t_{i}-t_{i-1})\right)^{\frac {1}{2}}}$

definieren. Dabei handelt e​s sich u​m eine Halbnorm.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise

1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 413.