Universeller Koeffizientensatz

Das universelle Koeffiziententheorem i​st eine Aussage e​her technischen Charakters a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er algebraischen Topologie. Es erlaubt, d​ie Homologie bzw. Kohomologie e​ines Raumes m​it Koeffizienten i​n einer beliebigen abelschen Gruppe a​us der Homologie bzw. Kohomologie m​it Koeffizienten i​n den ganzen Zahlen auszurechnen.

Homologische Fassung

Es seien ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle A}$ eine abelsche Gruppe und ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

${\displaystyle 0\to H_{n}(X)\otimes A\to H_{n}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(H_{n-1}(X),A)\to 0.}$

Dabei steht ${\displaystyle H_{n}(X)}$ abkürzend für ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$, und Tor ist das Torsionsprodukt.

Die Folge spaltet, a​ber nicht natürlich.

Kohomologische Fassung

Es seien ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle A}$ eine abelsche Gruppe und ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{n-1}(X),A)\to H^{n}(X;A)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),A)\to 0.}$

Dabei steht wieder ${\displaystyle H_{n}(X)}$ abkürzend für ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$, und Ext ist der abgeleitete Funktor Ext. Der Homomorphismus ${\displaystyle H^{n}(X;A)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),A)}$ wird durch die Kronecker-Paarung definiert.

Im Unterschied zur homologischen Fassung ist diese Aussage selbst für ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ nicht trivial.

Wie o​ben spaltet d​ie Folge, a​ber nicht natürlich.

Anwendungsbeispiele

• Zusammen mit der Aussage ${\displaystyle H_{1}(X)=\pi _{1}(X)^{\mathrm {ab} }}$ folgt

${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {R} )=\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {R} ).}$

• Die reelle projektive Ebene ${\displaystyle X=\mathbb {R} P^{2}}$ hat die 2-Sphäre als zweiblättrige, universelle Überlagerung, also gilt ${\displaystyle H_{1}(X)=\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, somit besitzt ${\displaystyle H^{2}(X;A)}$ eine zu

${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,A)=A/2A}$

isomorphe Untergruppe.

Verallgemeinerungen

• Es gibt vollkommen analoge Aussagen für beliebige flache (für Homologie) bzw. freie (für Kohomologie) Kettenkomplexe über einem beliebigen Hauptidealring ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle R}$-Moduln.
• Der Satz von Künneth enthält das universelle Koeffiziententheorem als Spezialfall.

Quellen

• J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Kapitel 17.