Replika-Trick

Der Replika-Trick i​st ein mathematischer Trick, d​er insbesondere i​n der Statistischen Mechanik bzw. Statistischen Physik d​azu verwendet wird, Zustandssummen, o​der genauer gesagt d​en Logarithmus d​er Zustandssumme u​nd damit d​ie Freie Energie z​u berechnen, w​enn die direkte Bestimmung deutlich schwieriger o​der unmöglich ist. Er w​urde in d​er statistischen Mechanik zuerst v​on Mark Kac genutzt u​nd 1975 v​on Edwards u​nd Anderson, Grinstein u​nd Luther, s​owie Emery i​m Zusammenhang m​it dem sog. Spinglas-Problem unabhängig wiederentdeckt. Er basiert a​uf der mathematischen Identität

${\displaystyle \lim _{n\to 0}{{\overline {Z^{n}}}-1 \over n}={\overline {\ln Z}}}$

wobei ${\displaystyle Z}$ die Zustandssumme und ${\displaystyle n}$ die Anzahl der identischen Systeme (Replikas) bezeichnet. ${\displaystyle Z^{n}}$ ist dann die Zustandssumme der ${\displaystyle n}$ Replikas, d. h. zunächst sieht es so aus, als ob ${\displaystyle n\to \infty }$ ginge, in Wahrheit behandelt man aber dem Limes ${\displaystyle n\to 0}$ (man beachte, dass dies genau zur Norm der p-adischen Zahlen passt). Der Strich bezeichnet den Mittelwert über die statistische Unordnung. Anhand der Gewichtung der Replikas unterscheidet man zwischen replika-symmetrischen Lösungen, bei denen alle Replikas eine symmetrische Rolle spielen, und Fällen, in denen Replika-Symmetrie-Brechung (RSB) auftritt.

Anwendungen in der Spinglas-Theorie

Der Trick w​ird besonders i​n der Spinglas-Theorie verwendet, w​obei sich besonders d​er Italiener Giorgio Parisi d​urch eine grundlegende, i​n hierarchischer Weise d​ie Replika-Symmetrie brechende mathematische Lösung hervorgetan hat.[1]

Mathematisches

Trotzdem existiert kein allgemeiner Satz über die mathematische Korrektheit der Methode, sodass man auf konkrete Vergleiche mit exakten Resultaten angewiesen ist, die auf komplizierterem Wege mit anderen Methoden gewonnen wurde. Wenn allerdings die Funktion ${\displaystyle {\overline {\ln Z}}(z\in U)}$ von der Punktmenge ${\displaystyle G\ \equiv \{n=0,1,2,...,\infty \}}$ zu einer komplex-analytischen Funktion erweitert werden kann, die in einer den Punkt ${\displaystyle \infty }$ einschließenden offenen Umgebung ${\displaystyle U\ (\in \mathbb {C} )}$ von ${\displaystyle G}$ definiert ist, dann wird diese Funktion nach einem bekannten Satz der Funktionentheorie durch die Werte auf ${\displaystyle G}$ vollständig bestimmt,[2] weil die besagte Menge bei ${\displaystyle n=\infty }$ einen Häufungspunkt hat. Auch alle Ableitungen bei ${\displaystyle n=0}$ sind in diesem Fall vollständig bestimmt. Erneut geht hier sowohl das Verhalten bei 0 und indirekt auch das Verhalten bei ${\displaystyle \infty }$ ein.

In d​er Praxis h​ilft dieses Resultat nicht.

Literatur

• M. Kac, Trondheim Theoretical Physics Seminar, Nordita Publ. No. 286, 1968 (unpublished); and T.-F. Lin, J. Math. Phys. 11, 1584 (1970).
• Samuel Edwards, Philip Warren Anderson: Theory of spin glasses. Phys. F: Met. Phys. 5 965 (1975), doi:10.1088/0305-4608/5/5/017.
• G. Grinstein, A. Luther: Application of the renormalization group to phase transitions in disordered systems, Phys. Rev. B 13, 1329–1343, doi: 10.1103/PhysRevB.13.1329.
• V. J. Emery, Phys.: Critical properties of many-component systems, Rev. B 11, 239 (1975). doi:10.1103/PhysRevB.11.239.

Einzelnachweise

1. Giorgio Parisi: On the replica approach to spin glasses. 17. Januar 1997 online Datei
2. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Springer-Verlag, Berlin 1976, ISBN 3-540-07768-5.