Von-Neumann-Stabilitätsanalyse

Die Von-Neumann-Stabilitätsanalyse (nach John v​on Neumann), manchmal a​uch L2-Stabilitätsanalyse, i​st das Standardverfahren z​ur Untersuchung d​er Stabilität v​on numerischen Verfahren z​ur Lösung zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen.

Das Verfahren w​urde von John v​on Neumann i​n Los Alamos i​m Rahmen d​es Manhattan-Projekts entwickelt. Während d​es Krieges w​urde die Methode u​nter Verschluss gehalten u​nd erst 1947 v​on John Crank u​nd Phyllis Nicolson publiziert. 1968 bewies Heinz-Otto Kreiss weitere zentrale Eigenschaften d​es Analyseverfahrens.

Der lineare, eindimensionale Fall

Gegeben sei auf einem Intervall ${\displaystyle [0,L]}$ eine lineare, partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten der Form

${\displaystyle u_{t}+Au_{x}=0,}$

Anfangsdaten ${\displaystyle u_{0}=u(0)}$ sowie ein numerisches Verfahren zur Lösung. Die Bedingung, dass das Verfahren in der L2-Norm stabil ist, besagt dann, dass der durch das numerische Verfahren produzierte Fehler bei gegebenen Schrittweiten ${\displaystyle \Delta x}$ und ${\displaystyle \Delta t}$ für ${\displaystyle t\to \infty }$ beschränkt bleibt. Der erste Schritt der Von-Neumann-Stabilitätsanalyse besteht nun darin, die Lösung periodisch auf die kompletten reellen Zahlen fortzusetzen.

Der periodische Fehler ${\displaystyle E_{i}^{n}}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{n}}$ im Diskretisierungspunkt ${\displaystyle x_{i}}$ kann nun in eine Fourier-Reihe

${\displaystyle E_{i}^{n}=\sum _{-N}^{N}c_{j}^{n}e^{ij\Delta xI}}$

entwickelt werden. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle I}$ die imaginäre Einheit. Das numerische Verfahren definiert dann eine Evolution der Koeffizienten der Fourierreihe in der Zeit mittels einer so genannten Amplifikationsmatrix ${\displaystyle G}$. Die L2-Stabilitätsbedingung reduziert sich dann darauf, dass das numerische Verfahren genau dann stabil ist, wenn der Spektralradius der Amplifikationsmatrix ${\displaystyle \rho (G)}$ betragsmäßig kleiner gleich eins ist.

Beispiel

Der einfachste Fall i​st die lineare Advektionsgleichung

${\displaystyle u_{t}+au_{x}=0,}$

wobei ${\displaystyle a}$ eine reelle Zahl ist. Eines der einfachsten vorstellbaren numerischen Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen ist das explizite Euler-Verfahren ${\displaystyle u^{n+1}=u^{n}-(\Delta t)au_{x}}$ zur Zeitintegration gekoppelt mit zentralen Differenzen auf einem äquidistanten Gitter im Raum. Der zweite Term wird also mittels

${\displaystyle au_{x}\approx {\frac {a}{2\Delta x}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})}$

approximiert. Insgesamt ergibt s​ich das Verfahren

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+{\frac {a}{2\Delta x}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})=0,}$

was auch die Entwicklung der Fehler definiert und auch jedes einzelnen Terms der Fourier-Reihenentwicklung. Betrachten wir den j-ten Summanden, so ergibt Einsetzen in die obige Formel und Division durch ${\displaystyle e^{ij\Delta xI}}$ mit ${\displaystyle \phi =j\Delta x}$:

${\displaystyle c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}+{\frac {a\Delta t}{2\Delta x}}c_{j}^{n}(e^{I\phi }-e^{-I\phi })=0.}$

Die Amplifikationsmatrix i​st nun gegeben d​urch

${\displaystyle G(\phi )={\frac {c_{j}^{n+1}}{c_{j}^{n}}}=1-I{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\sin \phi .}$

Das Verfahren ist ${\displaystyle L_{2}}$-stabil, falls ${\displaystyle |G|\leq 1}$ für alle ${\displaystyle \phi }$, was hier nicht der Fall ist, da ${\displaystyle |G|^{2}=1+\left({\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right)^{2}\sin ^{2}\phi .}$ Damit ist das Verfahren unabhängig von der Wahl der Schrittweiten instabil. Dieses Verhalten beobachteten die Mitarbeiter des Manhattan Projekts, was von Neumann zur Entwicklung der Stabilitätsanalyse führte. Wird im Raum das Upwind-Verfahren

${\displaystyle au_{x}\approx {\frac {a}{\Delta x}}(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n})}$

benutzt, s​o ergibt s​ich die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung

${\displaystyle {\frac {a\Delta t}{\Delta x}}<1}$,

also bedingte Stabilität.

Andere Gleichungen

Im nichtlinearen Fall o​der im Falle variabler Koeffizienten k​ann das Verfahren d​urch Linearisierung u​nd Einfrieren d​er Koeffizienten angewandt werden, allerdings liefert d​ie Analyse i​m allgemeinen Fall n​ur noch e​ine notwendige Bedingung für Stabilität, i​n Spezialfällen a​uch eine hinreichende. Ferner i​st die Bedingung a​n den Spektralradius nun:

${\displaystyle \rho (G)\leq 1+c\Delta t}$.

Ein allgemeines Verfahren z​ur vollständigen Stabilitätsanalyse nichtlinearer Gleichungen i​st nicht bekannt.

Weblinks

• Martin Neumann: Erklärung der Analyse in einem Skript Computational Physics I: Grundlagen der Uni Wien