Triangulierte Kategorie

Triangulierte Kategorie i​st ein Begriff a​us der homologischen Algebra. Triangulierte Kategorien bieten e​inen gemeinsamen Rahmen für derivierte Kategorien u​nd für d​ie stabilen Modulkategorien d​er Darstellungstheorie. Ursprünglich wurden s​ie durch Verdier eingeführt, u​m derivierte Funktoren d​er algebraischen Geometrie z​u studieren.[1]

Definition

Eine triangulierte Kategorie besteht aus

• einer additiven Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$,
• einem additiven Funktor ${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$, der eine Äquivalenz von Kategorien^(a) ist, und
• einer Klasse von Tripeln von Morphismen ${\displaystyle A\,{\xrightarrow {f}}\,B\,{\xrightarrow {g}}\,C\,{\xrightarrow {h}}\,T(A)}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Elemente ${\displaystyle (f,g,h)}$ dieser Klasse nennt man ausgezeichnete Tripel.

Dabei verlangt man, d​ass die folgenden v​ier Axiome gelten:^(b)

(TR1)

• Zu jedem Objekt ${\displaystyle X}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist das Tripel ${\displaystyle X\,{\xrightarrow {\operatorname {Id} _{X}}}\,X\rightarrow \,0\,\rightarrow T(X)}$ ausgezeichnet.
• Zu jedem Morphismus ${\displaystyle A\,{\xrightarrow {f}}\,B}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ gibt es mindestens ein ausgezeichnetes Tripel der Form ${\displaystyle A\,{\xrightarrow {f}}\,B\,{\xrightarrow {g}}\,C\,{\xrightarrow {h}}\,T(A)}$.
• Ein Tripel ist genau dann ausgezeichnet, wenn es zu einem ausgezeichneten Tripel isomorph ist. Das heißt: Ist das Diagramm
  
  kommutativ, und sind die senkrechten Morphismen Isomorphismen, dann ist die untere Zeile genau dann ein ausgezeichnetes Tripel, wenn die obere Zeile ein ausgezeichnetes Tripel ist.

(T2)

Ist ${\displaystyle A\,{\xrightarrow {f}}\,B\,{\xrightarrow {g}}\,C\,{\xrightarrow {h}}\,T(A)}$ ausgezeichnet, dann ist auch ${\displaystyle B\,{\xrightarrow {g}}\,C\,{\xrightarrow {h}}\,T(A)\,{\xrightarrow {-T(f)}}\,T(B)}$ ausgezeichnet.

(TR3)

Kommutiert das linke Quadrat im Diagramm

und sind die beiden Zeilen ausgezeichnete Tripel, dann gibt es (mindestens) einen Morphismus ${\displaystyle c}$ derart, dass das ganze Diagramm kommutiert.

(T4) Schwaches Oktaederaxiom

Ist ${\displaystyle h=g\circ f}$, dann gibt es ausgezeichnete Tripel ${\displaystyle (f,f',f'')}$, ${\displaystyle (g,g',g'')}$, ${\displaystyle (h,h',h'')}$ und ${\displaystyle (j,j',j'')}$ derart, dass das folgende „Zopfdiagramm“^(c) kommutiert.

Beispiele

Häufig definiert m​an die Klasse d​er ausgezeichneten Tripel, i​ndem man e​ine Klasse v​on Standardtripeln beschreibt u​nd dann definiert: Ein Tripel i​st genau d​ann ausgezeichnet, w​enn es z​u einem Standardtripel isomorph ist.

1. Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine abelsche Kategorie. Dann ist auch die Kategorie ${\displaystyle \mathop {Ch} ({\mathcal {A}})}$ aller Kettenkomplexe in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ abelsch. Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$, indem man kettenhomotope Morphismen in ${\displaystyle \mathop {Ch} ({\mathcal {A}})}$ miteinander identifiziert. Diese Kategorie ist selbst nicht abelsch, aber doch trianguliert, wobei:
   • ${\displaystyle T}$ ist die Verschiebung ${\displaystyle T(A)_{*}=A[-1]_{*}}$, das heißt ${\displaystyle T(A)_{n}=A_{n-1}}$ und ${\displaystyle d_{n}^{T(A)}=-d_{n-1}^{A}}$.
   • Die Standardtripel sind die Tripel der Form ${\displaystyle A_{*}\,{\xrightarrow {f_{*}}}\,B_{*}\,{\xrightarrow {i_{*}}}\,C(f)_{*}\,{\xrightarrow {j_{*}}}\,A[-1]_{*}}$ für jeden Morphismus ${\displaystyle A_{*}\,{\xrightarrow {f_{*}}}\,B_{*}}$ aus ${\displaystyle \mathop {Ch} ({\mathcal {A}})}$, wobei ${\displaystyle C(f)_{*}}$ der Abbildungskegel ist und ${\displaystyle i_{*}}$, ${\displaystyle j_{*}}$ die entsprechenden Strukturabbildungen sind.

Literatur

• Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin: Methods of Homological Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-642-07813-2.
• Dieter Happel: Triangulated Categories in the Representation Theory of Finite Dimensional Algebras (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Nr. 119). Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33922-7.
• Amnon Neeman: Triangulated Categories (= Annals of Mathematics Studies. Nr. 146). Princeton University Press, 2001, ISBN 0-691-08685-0.
• Wolfgang Soergel: Derivierte Kategorien und Funktoren. (PDF) Mathematisches Institut, Universität Freiburg, 7. April 2017, abgerufen am 8. April 2017 (Vorlesungsskript).
• Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Kapitel 10.
• Alexander Zimmermann: Representation Theory: A Homological Algebra Point of View (= Algebra and Applications. Nr. 19). Springer, Cham 2014, ISBN 978-3-319-07968-4, §3.4.

Anmerkungen

^(a) Viele Quellen verlangen sogar einen Isomorphismus von Kategorien, was manche Aussagen vereinfacht. Die stabile Modulkategorie ist ein Beispiel, wo ${\displaystyle T}$ – in diesem Fall der Heller-Operator – kein Isomorphismus von Kategorien ist.

^(b) Axiome nach Paul Balmers Rezension[2] eines Artikels von J. Peter May[3]

^(c) Diese diagrammatische Darstellung des Oktaederaxioms ist von May,[3] der ein Sinuswelle-Diagramm von J. F. Adams[4] als seine Inspiration angibt.

Einzelnachweise

1. Alexander Zimmermann: Representation Theory: A Homological Algebra Point of View (= Algebra and Applications. Nr. 19). Springer, Cham 2014, ISBN 978-3-319-07967-7, S. 288, doi:10.1007/978-3-319-07968-4.
2. Paul Balmer: MR1867203 (2002k:18019). In: MathSciNet. American Mathematical Society, abgerufen am 26. April 2017 (Zugangsberechtigung erforderlich).
3. J. Peter May: The additivity of traces in triangulated categories. In: Advances in Mathematics. Band 163, Nr. 1, 15. Oktober 2001, S. 34–73, doi:10.1006/aima.2001.1995.
4. J. F. Adams: Stable Homotopy and Generalised Homology. University of Chicago Press, Chicago 1974, ISBN 0-226-00523-2, S. 212.