Derivierte Kategorie

Die derivierte Kategorie einer abelschen Kategorie ist ein wichtiges Objekt in der modernen homologischen Algebra. Sie wurde durch Grothendiecks Student Verdier eingeführt.[1]

Quasiisomorphismus

Zuerst bildet man die abelsche Kategorie aller Kettenkomplexe in . Ein Kettenhomomorphismus in heißt ein Quasiisomorphismus, falls er unter Homologie zu einem Isomorphismus wird, das heißt falls ein Isomorphismus ist für jede ganze Zahl .

Homotopie-Kategorie

Analog zur herkömmlichen Homotopie-Kategorie bildet man die Homotopie-Kategorie , indem man kettenhomotope Morphismen in miteinander identifiziert. ist eine triangulierte Kategorie.

Derivierte Kategorie

Analog zur Lokalisierung bildet man die derivierte Kategorie aus , indem man sämtliche Quasiisomorphismen für invertierbar erklärt.

Mengentheoretisches Problem

Seien zwei Objekte aus . In ist die Gesamtheit aller Morphismen von nach nicht immer eine Menge.[2] Die wichtigsten Arbeiten halten dieses Problem für unwesentlich.[3]

Literatur

  • Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin: Methods of Homological Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-642-07813-3.
  • Wolfgang Soergel: Derivierte Kategorien und Funktoren. (PDF) Mathematisches Institut, Universität Freiburg, 7. April 2017, abgerufen am 8. April 2017 (Vorlesungsskript).
  • Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Kapitel 10.

Einzelnachweise

  1. R. P. Thomas: Derived Categories for the Working Mathematician. In: Cumrun Vafa, S.-T. Yau (Hrsg.): Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles and Lagrangian Submanifolds (Cambridge, MA, 1999) (= AMS/IP Studies in Advanced Mathematics. Nr. 23). American Mathematical Society, Providence (Rhode Island) 2001, ISBN 0-8218-2159-8, S. 349–361, arxiv:math/0001045: „… the creators of derived categories (principally Verdier, or as he is traditionally known in this context, Grothendieck’s student Verdier)“
  2. Für ein Beispiel von Freyd, siehe Carles Casacuberta, Amnon Neeman: Brown representability does not come for free. In: Mathematical Research Letters. Band 16, Nr. 1. International Press, 2009, ISSN 1073-2780, S. 1–5, arxiv:0807.1872.
  3. Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, Set-Theoretic Remark 10.3.3: „The standard references […] all ignore these set-theoretic problems.“
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