Tichonow-Planke

Die Tichonow-Planke i​st ein i​m mathematischen Teilgebiet d​er Topologie betrachteter spezieller topologischer Raum, d​er wegen seiner unerwarteten Eigenschaften o​ft als Gegenbeispiel dient. Dieser Raum i​st nach d​em russischen Mathematiker A. N. Tichonow benannt, d​er ihn 1930 konstruierte. Wegen d​er im Französischen verwendeten Transkription findet m​an auch d​en Namen Tychonoff-Planke. Zu seiner Konstruktion werden Ordinalzahlen verwendet.

Definition

Es seien ${\displaystyle \omega }$ und ${\displaystyle \omega _{1}}$ die kleinste unendliche bzw. überabzählbare Ordinalzahl. Weiter seien ${\displaystyle [0,\omega ]}$ und ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ die Mengen aller Ordinalzahlen von 0 bis ${\displaystyle \omega }$ bzw. ${\displaystyle \omega _{1}}$, versehen mit der Ordnungstopologie. Die Tichonow-Planke ist dann der Raum

${\displaystyle T:=([0,\omega _{1}]\times [0,\omega ])\setminus \{(\omega _{1},\omega )\}}$

versehen m​it der Teilraumtopologie d​er Produkttopologie.

Eigenschaften

• Die Tichonow-Planke ist als Unterraum des kompakten Hausdorffraums ein vollständig regulärer Raum.
• Die Tichonow-Planke ist ein lokalkompakter Raum, da er durch Entfernung eines Punktes aus einem kompakten Raum entsteht.
• Man kann zeigen, dass ${\displaystyle T}$ nicht normal ist; die beiden disjunkten, abgeschlossenen Mengen ${\displaystyle \{(\omega _{1},n);\,n\in \omega \}}$ und ${\displaystyle \{(\alpha ,\omega );\,\alpha \in \omega _{1})\}}$ können nicht durch offene Mengen getrennt werden. ${\displaystyle T}$ ist daher ein Beispiel für einen vollständig regulären, aber nicht normalen Raum.
• ${\displaystyle T}$ ist Unterraum des kompakten und daher normalen Hausdorffraums ${\displaystyle [0,\omega _{1}]\times [0,\omega ]}$. Wir haben daher ein Beispiel für einen nicht-normalen offenen Unterraum eines normalen Raums. Da alle Unterräume vollständig normaler Räume wieder normal sind, ist ${\displaystyle [0,\omega _{1}]\times [0,\omega ]}$ auch ein Beispiel für einen nicht vollständig normalen kompakten Raum.
• ${\displaystyle [0,\omega _{1}]\times [0,\omega ]}$ ist nicht perfekt normal. Man kann zeigen, dass es keine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon [0,\omega _{1}]\times [0,\omega ]\rightarrow [0,1]}$ gibt mit ${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=\{(0,0)\}}$ und ${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=\{(\omega _{1},\omega )\}}$. Das liegt daran, dass Nullstellenmengen stetiger, reellwertiger Funktionen stets ${\displaystyle G_{\delta }}$-Mengen sind, was aber auf ${\displaystyle \{(\omega _{1},\omega )\}}$ nicht zutrifft.

Siehe auch

• Dieudonné-Planke, eine feinere Topologie auf derselben Grundmenge

Literatur

• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1978, ISBN 3-540-90312-7, Example 86, (Reprinted by: Dover Publications, New York NY 1995, ISBN 0-486-68735-X).
• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= B.I-Hochschultaschenbücher. Bd. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, Absatz 4.5.
• Andrei Tychonoff: Über die topologische Erweiterung von Räumen. In: Mathematische Annalen. Bd. 102, 1930, S. 544–561, doi:10.1007/BF01782364, Digitalisat (PDF; 1,21 MB).