Lambert-Reihe

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit aₙ = 1 für alle Werte n:

Eigenschaften

Konvergenz

Für konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe konvergiert. Konvergiert nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle , für die die Potenzreihe konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

Die Lambert-Reihe kann für mittels Erweiterung umsummiert werden zu

,

wobei sich die Koeffizienten der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von mit der konstanten Folge ergeben:

.

Alternative Form

Setzt man , so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

wobei

ist.

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit , treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen:

Mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt.

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

Mit dem Quadratsymbol vor dem eingeklammerten n wird die n-te Quadratzahl ausgedrückt.

Unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Zweierpotenzen:

Siehe auch

Literatur

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