Stieltjesintegral

In d​er Integralrechnung bezeichnet d​as Stieltjesintegral e​ine wesentliche Verallgemeinerung d​es Riemannintegrals o​der eine Konkretisierung d​es Integralbegriffs v​on Lebesgue. Benannt w​urde es n​ach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856–1894). Das Stieltjesintegral, für d​en der Begriff d​es Integrators grundlegend ist, findet i​n vielen Gebieten Anwendung, insbesondere i​n der Physik u​nd der Stochastik.

Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren

Es seien ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle f,h\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ zwei Funktionen. Dabei wird vorausgesetzt, dass ${\displaystyle f}$, der Integrand, beschränkt ist und ${\displaystyle h}$, der Integrator, (nicht notwendigerweise streng) monoton wächst. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von ${\displaystyle f}$ bezüglich ${\displaystyle h}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls oder über Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert. Jedoch lauten die Formeln für die Ober- und Untersumme bei Stieltjes-Integralen statt

${\displaystyle {\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})}$ (Obersumme) und

${\displaystyle {\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (t_{i}-t_{i-1})}$ (Untersumme)

nun

${\displaystyle {\overline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\sup {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))}$ (Stieltjes-Obersumme) und

${\displaystyle {\underline {S_{N}}}=\sum _{i=1}^{N}\inf {\Big \{}f(t):t\in [t_{i-1},t_{i}]{\Big \}}\cdot (h(t_{i})-h(t_{i-1}))}$ (Stieltjes-Untersumme).

Konvergieren Ober- und Untersumme für hinreichend feine Zerlegungen gegen denselben Wert, so heißt ${\displaystyle f\!\,}$ bezüglich ${\displaystyle h\!\,}$ auf ${\displaystyle [a,b]\!\,}$ Riemann-Stieltjes-integrierbar und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h\quad {\text{oder}}\quad \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} h(t).}$

Der Integrator ${\displaystyle h}$ regelt also, wie stark ${\displaystyle f}$ an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral als Spezialfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit ${\displaystyle h(x)=x}$ für alle ${\displaystyle x}$ (Identität) aufgefasst werden. Im Unterschied zum Riemann-Integral setzt man zwar standardmäßig voraus, dass die Integrandenfunktion ${\displaystyle f(t)}$ stetig ist, die Integratorfunktion ${\displaystyle h(t)}$ kann aber komplizierter sein:

Cantor-Funktion (10 Iterationen, stetig und monoton, aber nirgends mit positiver Ableitung differenzierbar)

Heaviside-Funktion (unstetig)

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion ${\displaystyle f}$ selbst mit der Cantor-Funktion als Integrator ${\displaystyle h}$ (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende stetige Funktion, deren Ableitung fast überall 0 ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge). Es existiert sogar mit einer unstetigen, aber monotonen Sprungfunktion ${\displaystyle h,}$ etwa für ${\displaystyle h(t)=0}$ für alle ${\displaystyle t<0}$, aber ${\displaystyle h(t)=1}$ für ${\displaystyle t\geq 0}$ (Heaviside-Funktion).

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue-Integrals. Hierbei wird über ein Borel-Maß ${\displaystyle \mu }$ integriert, das im Fall des Lebesgue-Stieltjes-Integrals durch die monotone Funktion ${\displaystyle h}$ definiert wird und im Folgenden mit ${\displaystyle \mu _{h}}$ bezeichnet wird. Das Maß ${\displaystyle \mu _{h}}$ ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{h}([x,y[)&=h(y-)-h(x-),\\\mu _{h}([x,y])&=h(y+)-h(x-),\\\mu _{h}(]x,y])&=h(y+)-h(x+)\end{aligned}}}$

Hier bezeichnet ${\displaystyle h(y-)}$ den linksseitigen und ${\displaystyle h(y+)}$ den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion ${\displaystyle h}$ an der Stelle ${\displaystyle y}$. Ist ${\displaystyle h}$ die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß. Ist ${\displaystyle f}$ bezüglich dieses Maßes ${\displaystyle \mu _{h}}$ Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} \mu _{h},}$

wobei d​ie rechte Seite a​ls gewöhnliches Lebesgue-Integral aufzufassen ist.

Nicht-monotone Integratoren

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf ${\displaystyle [a,b]}$. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also ${\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}$ wobei ${\displaystyle h_{1},h_{2}\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ monoton wachsend sind. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h:=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h_{1}-\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h_{2}.}$

Es k​ann gezeigt werden, d​ass diese Definition sinnvoll, d. h. wohldefiniert (also unabhängig v​on der speziellen Wahl d​er Zerlegung) ist.

Eigenschaften

• Wie das Riemann- und das Lebesgue-Integral ist auch das Stieltjes-Integral linear im Integranden:

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,\mathrm {d} h=\alpha \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h+\beta \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} h}$

für Konstanten ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$, falls die betrachteten Integrale existieren.

• Weiterhin ist das Stieltjes-Integral auch linear im Integrator, also

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} (\alpha g+\beta h)=\alpha \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g+\beta \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h}$

für Konstanten ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ und Funktionen ${\displaystyle g,h}$ endlicher Variation.

• Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} (h+c)=\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h}$

für Konstanten ${\displaystyle c}$.

• Treppenfunktionen als Integratoren: Ist ${\displaystyle f}$ stetig und ${\displaystyle h}$ eine Treppenfunktion, die in den Punkten ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in \,]a,b[}$ Sprünge der Höhe ${\displaystyle \Delta h_{1},\ldots ,\Delta h_{n}\in \mathbb {R} }$ besitzt, so gilt

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} h=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta h_{i}.}$

• Ist ${\displaystyle h}$ stetig differenzierbar, so gilt

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,\mathrm {d} x.}$

(Im Lebesgueschen Sinne: ${\displaystyle h\!\,'}$ ist die Dichte von ${\displaystyle \mu _{h}}$.)

• Ist ${\displaystyle h}$ absolut stetig, so ist ${\displaystyle h}$ fast überall differenzierbar, die Ableitung ${\displaystyle h'}$ ist integrierbar und es gilt auch hier:

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=\int _{a}^{b}f(x)h'(x)\,\mathrm {d} x.}$

• Für das Riemann-Stieltjes-Integral gilt folgende Regel zur partiellen Integration:[1]

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} h(x)=f(b)h(b)-f(a)h(a)-\int _{a}^{b}h(x)\,\mathrm {d} f(x).}$

Literatur

• Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1981, ISBN 3-87-144-217-8.

Einzelnachweise

1. Wolfgang Walter: Analysis. Band 2. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42953-0, S. 193 f.