Spitze (hyperbolische Geometrie)

Spitzen (engl.: cusps) i​n der hyperbolischen Geometrie s​ind in d​er für d​ie Zahlentheorie wichtigen Theorie d​er Modulformen u​nd allgemein i​n der Theorie Fuchsscher u​nd Kleinscher Gruppen v​on Bedeutung.

Definition

Es sei ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (H^{n})}$ eine diskrete Gruppe von Isometrien des hyperbolischen Raumes ${\displaystyle H^{n}}$.

Ein Punkt im Unendlichen ${\displaystyle c\in \partial _{\infty }H^{n}}$ ist eine Spitze von ${\displaystyle \Gamma }$, wenn es eine parabolische Isometrie ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ mit Fixpunkt ${\displaystyle c}$ gibt.[1]

Beispiel

Pflasterung von ${\displaystyle H^{2}}$ durch Fundamentalbereiche der ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$-Wirkung. Die Eckpunkte im Unendlichen sind die Spitzen ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}}$ von ${\displaystyle PSL(2,Z)}$.

Sei ${\displaystyle \Gamma =PSL(2,\mathbb {Z} )}$ die auf der hyperbolischen Ebene ${\displaystyle H^{2}}$ wirkende Modulgruppe. Nach der Identifikation

${\displaystyle \partial _{\infty }H^{2}=P^{1}\mathbb {R} =\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$

entsprechen die Spitzen von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ genau den rationalen Punkten

${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}}$.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle \infty }$ der Fixpunkt der parabolischen Isometrie ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)}$ und ${\displaystyle {\frac {a}{c}}\in \mathbb {Q} }$ ist ein Fixpunkt der parabolischen Isometrie ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1-ac&a^{2}\\-c^{2}&1+ac\end{array}}\right)}$.

Alle Spitzen von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ liegen im ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$-Orbit von ${\displaystyle \infty }$.

Eine Kongruenzuntergruppe ${\displaystyle \Gamma (N):=\operatorname {ker} (PSL(2,\mathbb {Z} )\to PSL(2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))\subset PSL(2,\mathbb {Z} )}$ hat dieselben Spitzen wie ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$, also ebenfalls ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}}$. Es gibt in diesem Fall aber mehrere ${\displaystyle \Gamma _{N}}$-Orbiten von Spitzen.

Rang einer Spitze

Der Stabilisator ${\displaystyle \Gamma _{c}}$ einer Spitze ${\displaystyle c}$ ist eine freie abelsche Gruppe parabolischer Isometrien. Der Rang ${\displaystyle \operatorname {rk} (c)}$ der Spitze ${\displaystyle c}$ ist definiert als der Rang der freien abelschen Gruppe ${\displaystyle \Gamma _{c}}$.

Für jede Spitze ${\displaystyle c\in \partial _{\infty }H^{n}}$ gilt die Ungleichung

${\displaystyle 1\leq \operatorname {rk} (c)\leq n-1}$.

Kompaktifizierungen durch Spitzen

Falls alle Spitzen von ${\displaystyle \Gamma }$ den Rang ${\displaystyle n-1}$ haben, kann die nichtkompakte Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \Gamma \backslash H^{n}}$ durch Hinzunahme je einer Spitze aus jedem ${\displaystyle \Gamma }$-Orbit kompaktifiziert werden.

Jede Spitze ${\displaystyle c}$ hat dann in der Kompaktifizierung eine Familie von Umgebungen, die (nach Herausnehmen der Spitze) homöomorph zu Quotienten ${\displaystyle \Gamma _{c}\backslash H_{c}}$ von Horobällen ${\displaystyle H_{c}}$ mit Zentrum ${\displaystyle c}$ sind. Diese Umgebungen sind Spitzen im Sinne der Differentialgeometrie.

Beispiel: ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )\backslash H^{2}}$ ist vermittels der j-Invariante homöomorph zur komplexen Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} }$, durch Hinzunahme der Spitze ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} ).\infty }$ erhält man die Kompaktifizierung ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$. (Dies ist ein Spezialfall der Satake-Kompaktifizierung.) Ähnlich können die Quotienten ${\displaystyle \Gamma (N)\backslash H^{2}}$ durch Hinzunahme endlich vieler Spitzen kompaktifiziert werden.[2] Diese Konstruktion ist beim Verständnis von Spitzenformen von Bedeutung.

Verallgemeinerungen

Spitzen können allgemeiner a​uch für gewisse lokal symmetrische Räume definiert werden, s​ie sind d​amit zusammenhängend i​n der für d​ie Zahlentheorie wichtigen u​nd die Theorie d​er Modulformen verallgemeinernden Theorie d​er automorphen Formen v​on Bedeutung.

Literatur

• Boris Apanasov: Discrete groups in space and uniformization problems. Translated and revised from the 1983 Russian original. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 40. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht 1991, ISBN 0-7923-0216-8.

Einzelnachweise

1. Aus der Diskretheit von ${\displaystyle \Gamma }$ folgt dann, dass alle ${\displaystyle c}$ festlassenden ${\displaystyle \gamma \in \Gamma \setminus \left\{1\right\}}$ parabolische Isometrien sein müssen. Eine Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {Isom} (H^{n})}$, die eine parabolische und eine hyperbolische Isometrie mit demselben Fixpunkt im Unendlichen enthält, kann nie diskret sein.
2. Kapitel 1.2 in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser, Boston, MA 2006, ISBN 0-8176-3247-6.

Siehe auch

• Spitze (Differentialgeometrie)