Kongruenzuntergruppe

In d​er Mathematik s​ind Kongruenzuntergruppen e​ine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen d​er allgemeinen linearen Gruppe.

In der Theorie der Modulformen werden häufig Kongruenzuntergruppen zur Modulgruppe ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ betrachtet.

Definition

Sei

${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

eine über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ definierte algebraische Gruppe und ${\displaystyle N}$ eine natürliche Zahl. Dann ist

${\displaystyle \Gamma :=\ker(p_{N}\colon G(\mathbb {Z} )\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))}$

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet ${\displaystyle p_{N}}$ die Einschränkung der "Reduktion modulo N" auf ${\displaystyle G(\mathbb {Z} )}$.)

Arithmetische Gruppen

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für ${\displaystyle n\geq 3}$ enthält jede arithmetische Gruppe ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$ eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]

Allgemeine Ringe

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus

${\displaystyle SL(R)\to SL(R/I)}$

für ein Ideal ${\displaystyle I\subset R}$.

Congruence subgroup problem

Das congruence subgroup problem fragt, ob für einen kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ jeder Normalteiler in ${\displaystyle SL(R)}$ eine Kongruenzuntergruppe ist.

Literatur

1. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.
2. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.