Sparkassenformel

Als Sparkassenformeln werden i​n der Finanzmathematik Differenzengleichungen bezeichnet, d​ie einen Zusammenhang zwischen d​em Anfangskapital u​nd dem Endkapital n​ach einer bestimmten Anzahl Perioden i​n Jahren, e​iner Rate u​nd einem Zins (jeweils p​ro Periode) herstellen.[1] Es handelt s​ich um e​ine Kombination a​us der Endwertberechnung für Zinseszinsen u​nd der Rentenrechnung.

Formel

Wird das Endkapital ${\displaystyle K_{n}}$ bei einem Anfangskapital ${\displaystyle K_{0}}$, einem Zinssatz ${\displaystyle i}$ (mit Zinsfaktor ${\displaystyle q=1+i}$), einer Laufzeit ${\displaystyle n}$ in Jahren und einer jährlichen Rate ${\displaystyle R}$ gesucht, dann ergeben sich für ${\displaystyle q\neq 1}$ folgende Formeln für die

• nachschüssige Rate (Zahlung der Rate am 31. Dezember eines jeden Jahres):

${\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}\pm R\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$

• vorschüssige Rate (Zahlung der Rate am 1. Januar eines jeden Jahres):

${\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot q^{n}\pm \ R\cdot q\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$

In beiden Fällen steht das Anfangskapital ${\displaystyle K_{0}}$ am 1. Januar des ersten Jahres zur Verzinsung bereit.

Bei Addition der Rate wird Kapital aufgebaut und bei der Subtraktion wird Kapital abgebaut. Die Formel gilt auch für Kredite mit konstanten Raten, wobei das Anfangskapital ${\displaystyle K_{0}}$ dann negativ ist.

Herleitung

Nachschüssige Ratenzahlung

Nach Ablauf des ersten Jahres wird das Anfangskapital mit dem Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ verzinst und die erste Rate ${\displaystyle R}$ gezahlt (nachschüssige Ratenzahlung). Damit beträgt dann der Kapitalwert

${\displaystyle K_{1}=K_{0}\cdot q\pm R}$.

Im 2. Jahr wird wieder das bestehende Kapital mit dem Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ verzinst und die Rate gezahlt. Damit beträgt der Kapitalwert im 2. Jahr

${\displaystyle K_{2}=K_{1}\cdot q\pm R=K_{0}\cdot q^{2}\pm R(1+q)}$.

Im 3. Jahr i​st der Kapitalwert

${\displaystyle K_{3}=K_{2}\cdot q\pm R=K_{0}\cdot q^{3}\pm R(1+q+q^{2})}$.

Analog erhält man im Jahr ${\displaystyle n}$ den Kapitalwert

${\displaystyle K_{n}=K_{n-1}\cdot q\pm R=K_{0}\cdot q^{n}\pm R(1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1})}$.

Ersetzt m​an die Summe i​n Klammern a​uf der rechten Seite d​urch die Formel für d​ie geometrische Reihe, erhält m​an die o​bige Sparkassenformel für d​ie nachschüssige Ratenzahlung.

Vorschüssige Ratenzahlung

Bei der vorschüssigen Ratenzahlung wird sowohl der Vorjahreskapitalwert als auch die am Jahresanfang gezahlte Rate mit dem Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ verzinst. Im ersten Jahr ist dann

${\displaystyle K_{1}=(K_{0}\pm R)\cdot q=K_{0}\cdot q\pm R\cdot q}$.

Die gleiche Herleitung wie für die nachschüssige Ratenzahlung mit der Ersetzung ${\displaystyle qR}$ statt ${\displaystyle R}$ liefert die Sparkassenformel für die vorschüssige Ratenzahlung.

Einzelnachweise

1. Alexander Karmann: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Oldenbourg, München 2008, ISBN 978-3-486-58706-7, S. 255 ff.