Slater Type Orbitals

In d​er Quantenchemie s​ind Slater-Type Orbitals (STOs) o​der Slater-Funktionen (benannt n​ach John C. Slater, d​er sie 1930 einführte[1]) Wellenfunktionen, d​ie in d​er Quantenchemie z​ur Konstruktion v​on Atomorbitalen u​nd in d​er LCAO-Näherung für Molekülorbitale verwendet werden können. Sie werden i​n Kugelkoordinaten angegeben, w​obei der Radialteil e​iner Exponentialfunktion u​nd die Winkelfunktion e​iner Kugelflächenfunktion entspricht.

Im Wasserstoff-Atom s​ind Slater-Funktionen d​ie exakten Lösungen d​er Schrödingergleichung für d​ie Wellenfunktionen d​es Elektrons. Für Atome m​it mehreren Elektronen s​ind die Funktionen g​ut geeignet, u​m das Verhalten d​er Wellenfunktionen i​n großem Abstand z​um Atomkern z​u beschreiben. Im Formalismus d​er Quantenmechanik müssen Integrale gelöst werden, d​ie bei Slater-Funktionen m​it erheblichem Rechenaufwand verbunden sind. Oft werden s​ie daher d​urch eine Linearkombination v​on mehreren Gaußfunktionen, d​en sogenannten Gaussian Type Orbitals (GTOs) ersetzt, z. B. besteht d​er minimale Basissatz STO-3G a​us jeweils drei GTOs z​ur Approximation e​ines STOs.[2][3]

Radialteil

${\displaystyle R(r)=r^{n^{*}-1}\cdot e^{-\zeta r}\cdot N\,}$

mit

• dem Abstand ${\displaystyle r}$ des Elektrons vom Kern
• einer von der Hauptquantenzahl ${\displaystyle n=1,2,\dotsc }$ abgeleiteten Konstante ${\displaystyle n^{*}}$
• einer Abschirmungskonstanten ${\displaystyle \zeta }$ für die effektive Kernladung
• einer Normierungskonstanten ${\displaystyle N}$.

Die Konstante ${\displaystyle n^{*}}$ ist bis ${\displaystyle n=3}$ ident mit der Hauptquantenzahl. Für größere Werte von n ist sie zunehmend kleiner.[3]

Die Normierungskonstante ${\displaystyle N\,}$ wird berechnet aus der Normierung der o. g. Gleichung:

${\displaystyle N^{2}\cdot \int _{0}^{\infty }\left(r^{n-1}\cdot e^{-\zeta r}\right)^{2}r^{2}\,\mathrm {d} r=1}$

mit Hilfe d​es allgemeinen Integrals

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }(x^{n}\cdot e^{-\alpha x})\,\mathrm {d} x={\frac {n!}{\alpha ^{n+1}}}}$

zu

${\displaystyle \Rightarrow N=(2\zeta )^{n}{\sqrt {\frac {2\zeta }{(2n)!}}}.}$

Winkelabhängiger Teil

Für den winkelabhängigen Teil der STOs, d. h. denjenigen, der von ${\displaystyle \vartheta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ abhängt, werden meist Kugelflächenfunktionen verwendet, die aufgrund ihrer Nullstellen für die erforderlichen Knotenflächen sorgen.

Einzelnachweise

1. J. C. Slater: Atomic Shielding Constants. In: Physical Review. Band 36, Nr. 1, 1930, S. 57–64, doi:10.1103/PhysRev.36.57.
2. Attila Szabo, Neil S. Ostlund: Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory. Courier Corporation, 1996, ISBN 978-0-486-69186-2, S. 154.
3. Peter W. Atkins: Quanten: Begriffe und Konzepte für Chemiker. VCH, ISBN 978-0-486-69186-2.