Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen s​ind ein vollständiger u​nd orthonormaler Satz v​on Eigenfunktionen d​es Winkelanteils d​es Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil z​eigt sich, w​enn der Laplace-Operator i​n Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Darstellung des Betrags des Realanteils der ersten Kugelflächenfunktionen als Radius in kartesischen Koordinaten. Die Farben geben das Vorzeichen der Kugelflächenfunktion an (rot entspricht positiv, grün entspricht negativ).

Veranschaulichung des Realanteils einiger Kugelflächenfunktionen (um die z-Achse rotierend) auf der Einheitskugel. Dargestellt ist ${\displaystyle Y_{l,m}}$, wobei ${\displaystyle l}$ der Zeile und ${\displaystyle m}$ der Spalte entspricht. Zeilen und Spalten werden jeweils bei null beginnend durchnummeriert.

Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$, dabei sind ${\displaystyle N_{lm}}$ Normierungsfaktoren und ${\displaystyle P_{lm}(z)}$ die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten):

${\displaystyle Y_{lm}:\;\left[0,\pi \right]\times \left[0,2\pi \right]\rightarrow \mathbb {C} ,\quad (\vartheta ,\varphi )\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,N_{lm}\,P_{lm}(\cos \vartheta )\,e^{\mathrm {i} m\varphi }}$ ${\displaystyle \quad {\text{mit}}\quad N_{lm}:={\sqrt {{\tfrac {2l+1}{2}}\,{\tfrac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}}$

Besonders i​n der theoretischen Physik h​aben die Kugelflächenfunktionen e​ine große Bedeutung für d​ie Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten z​um Beispiel b​ei der Berechnung v​on Atomorbitalen auf, d​a die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung d​en Laplace-Operator enthält u​nd sich d​as Problem a​m besten i​n Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch d​ie in d​er Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant d​urch die Entwicklung n​ach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In d​er Geophysik u​nd Geodäsie werden d​ie Kugelflächenfunktionen b​ei der Approximation d​es Geoids u​nd des Magnetfeldes verwendet.

Zusammenhang mit dem Laplace-Operator

Der Winkelanteil d​es Laplace-Operators z​eigt sich, w​enn dieser i​n Kugelkoordinaten geschrieben wird:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=\Delta _{r}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }}$

Der rechte, eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil ${\displaystyle \Delta _{\vartheta ,\varphi }}$ bezeichnet. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators ${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta _{\vartheta ,\varphi }}$.

Die Laplacesche Differentialgleichung i​n Kugelkoordinaten

${\displaystyle \Delta f(r,\vartheta ,\varphi )\ =0}$

hat neben der trivialen Lösung, ${\displaystyle f=0}$, verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen.

Zur Lösung wird folgender Produktansatz verwendet, wobei ${\displaystyle R_{l}(r)}$ nur vom Radius und ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$ nur von Polar- und Azimutwinkel abhängt:

${\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )=R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Dies ergibt eingesetzt:

${\displaystyle \Delta R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )\Delta _{r}R_{l}(r)+{\frac {R_{l}(r)}{r^{2}}}\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=0}$

Multiplikation von ${\displaystyle r^{2}}$ und Division durch ${\displaystyle R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$ liefert:

${\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}+{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}=0}$

Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn in beiden Summanden unabhängig voneinander Radius und Winkel variierbar sind. Beide Summanden müssen somit denselben konstanten Wert annehmen, der zu ${\displaystyle l(l+1)}$ gewählt wird (diese Festlegung erweist sich später als sinnvoll):

${\displaystyle {\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}=l(l+1)=-{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}}$

Durch dieses Verfahren, welches Separationsansatz genannt wird, w​urde also d​as ursprüngliche Problem, nämlich d​ie Lösung d​er Laplace-Gleichung (partielle Differentialgleichung m​it drei unabhängigen Variablen), a​uf das einfachere Problem d​er Lösung e​iner gewöhnlichen Differentialgleichung (Radialgleichung)

${\displaystyle \Delta _{r}R_{l}(r)={\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R_{l}(r)}$

und e​iner partiellen Differentialgleichung m​it zwei unabhängigen Variablen (winkelabhängige Gleichung), d​ie gerade v​on den Kugelflächenfunktionen erfüllt wird, reduziert.

${\displaystyle \Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Nun lässt s​ich aufgrund d​er Orthogonalität u​nd Vollständigkeit d​er Kugelflächenfunktionen zeigen, d​ass sich j​ede quadratintegrable Funktion a​us diesen speziellen Funktionen a​ls Summe zusammensetzen lässt:

${\displaystyle f(r,\vartheta ,\varphi )\ =\sum _{l,m}R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Aufgrund d​er Linearität d​es Laplace-Operators lassen s​ich also d​urch Addition d​er Lösungen d​er Radialgleichung, multipliziert m​it den Kugelflächenfunktionen, beliebig v​iele Lösungen d​er Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt s​ich automatisch e​ine Darstellung d​es Lösungsraumes d​er Laplace-Gleichung.

Die Kugelfunktionen wurden besonders v​on Legendre (Kugelfunktionen erster Art), Laplace (Kugelfunktionen zweiter Art) u​nd Carl Gottfried Neumann (Kugelfunktionen m​it mehreren Veränderlichen) behandelt.

Lösung der Eigenwertgleichung

Die Eigenwertgleichung

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

wird m​it folgendem Produktansatz separiert:

${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\vartheta )\Phi _{m}(\varphi )}$

Umsortieren liefert:

${\displaystyle \underbrace {{\frac {\sin ^{2}\vartheta }{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )+\sin ^{2}(\vartheta )(l(l+1))} _{m^{2}}=\underbrace {-{\frac {1}{\Phi _{m}(\varphi )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )} _{m^{2}}}$

Um beide Seiten getrennt voneinander variieren zu können, müssen beide Seiten den gleichen konstanten Wert annehmen. Diese Separationskonstante wird als ${\displaystyle m^{2}}$ gewählt. Es ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, die Polargleichung

${\displaystyle {\frac {1}{\Theta _{lm}(\vartheta )}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}\right)\Theta _{lm}(\vartheta )={\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\vartheta }}-l(l+1)}$

und d​ie Azimutalgleichung.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\Phi _{m}(\varphi )=-m^{2}\Phi _{m}(\varphi )}$

Die Azimutalgleichung wird durch ${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )=A\exp(\mathrm {i} m\varphi )}$ gelöst, wobei die ${\displaystyle m}$ wegen der Zusatzbedingung der Eindeutigkeit auf der Kugeloberfläche ${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi +2\pi )=\Phi _{m}(\varphi )}$ eingeschränkt sind auf ganze Zahlen ${\displaystyle \exp(\mathrm {i} m2\pi )=1}$. Mit ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\Phi _{m}(\varphi )|^{2}\mathrm {d} \varphi {\overset {!}{=}}1}$ erhält man die normierte Lösung der Azimutalgleichung:

${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(\mathrm {i} m\varphi ),\quad m\in \mathbb {Z} }$

Die Polargleichung k​ann mit e​inem Potenzreihenansatz gelöst werden. Die Lösungen s​ind nur d​ann endlich, eindeutig u​nd stetig, wenn

${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0},\quad |m|\leq l}$.

Dann sind die Lösungen die zugeordneten Legendrepolynome ${\displaystyle P_{lm}(\cos \vartheta )}$ und mit ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }|\Theta _{lm}(\vartheta )|^{2}\sin(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta {\overset {!}{=}}1}$ erhält man die normierte Lösung der Polargleichung:

${\displaystyle \Theta _{lm}(\vartheta )={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )}$

Die Gesamtlösung d​es Winkelanteils i​st das Produkt a​us den beiden erhaltenen Lösungen, nämlich d​ie Kugelflächenfunktionen.

${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\Theta _{lm}(\vartheta )\Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )\exp(\mathrm {i} m\varphi )}$

Darstellung

3D Plot der Kugelflächenfunktionen (hier ${\displaystyle n}$ statt ${\displaystyle l}$ und ${\displaystyle \theta }$ statt ${\displaystyle \vartheta }$) ${\displaystyle Y_{nm}(\theta ,\varphi )\propto P_{nm}(\cos \theta )\exp(im\varphi )}$ für Grad ${\displaystyle n=5}$

Die Darstellung der Kugelflächenfunktionen ${\displaystyle Y_{lm}:S^{2}\rightarrow \mathbb {C} }$ ergibt sich als Lösung der oben genannten Eigenwertgleichung. Die konkrete Rechnung liefert:

${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi ):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}N_{lm}P_{lm}(\cos \vartheta )e^{\mathrm {i} m\varphi }}$

Dabei sind

${\displaystyle P_{lm}(x):={\frac {(-1)^{m}}{2^{l}l!}}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{l+m}}{\mathrm {d} x^{l+m}}}(x^{2}-1)^{l}}$

die zugeordneten Legendrepolynome und

${\displaystyle N_{lm}:={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}}$

sind Normierungsfaktoren. Mitunter i​st die Berechnung über:

${\displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{\frac {\left|m\right|}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{\left|m\right|}P_{l}(x)}$

mit

${\displaystyle P_{l}(x)={\frac {1}{2^{l}}}\sum _{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(2l-2k)!}{k!(l-k)!(l-2k)!}}x^{l-2k}}$

vorteilhafter (${\displaystyle \lfloor l/2\rfloor$ :={\mathrm {abrunden} }(l/2)} ), da ${\displaystyle l}$-faches Ableiten entfällt.

Eine andere Definition geht über homogene, harmonische Polynome. Diese sind durch ihren Wert auf der Sphäre eindeutig bestimmt. Jedes homogene harmonische Polynom vom Grad n lässt sich als Linearkombination von Kugelflächenfunktionen multipliziert mit ${\displaystyle r^{n}}$ schreiben und umgekehrt. Wählt man beispielsweise die Funktion, die konstant 1 ist, als Basis des eindimensionalen Vektorraumes der 0-homogenen harmonischen Polynome und x, y und z als Basis des dreidimensionalen Vektorraumes der 1-homogenen, so erhält man in Kugelkoordinaten nach Division von ${\displaystyle r^{n}}$ die Funktionen

${\displaystyle 1{\frac {}{}}}$

${\displaystyle \cos {\varphi }\sin \vartheta =\Re {(e^{\mathrm {i} \varphi })}\sin \vartheta }$,

${\displaystyle \sin \varphi \sin \vartheta =\Im {(e^{\mathrm {i} \varphi })}\sin \vartheta }$,

${\displaystyle \cos \vartheta {\frac {}{}}}$.

Für die homogenen Polynome vom Grad 2 erkennt man in der Liste unten schnell auch die Terme ${\displaystyle x^{2}-y^{2},xy,x^{2}+y^{2}-2z^{2}{\frac {}{}}}$ wieder, nur mit einem falschen Vorfaktor.

Eigenschaften

Darstellung der Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen h​aben folgende Eigenschaften:

• Orthonormalitätsrelation: (${\displaystyle \delta _{ij}}$ ist das Kronecker-Delta)

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\mathrm {d} \Omega \\&\quad =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\,\sin {\vartheta }\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad =\delta _{l\,l'}\,\delta _{mm'}\\\end{aligned}}}$

• Vollständigkeit: (${\displaystyle \delta (x)}$ ist die Delta-Distribution)

${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\delta (\varphi -\varphi ')\delta (\cos {\vartheta }-\cos {\vartheta '})}$

• Parität: Der Übergang ${\displaystyle {\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}}$ sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus: ${\displaystyle (r,\vartheta ,\varphi )\rightarrow (r,\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )}$. Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:

${\displaystyle Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )=(-1)^{l}\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

• Komplexe Konjugation: Die jeweiligen ${\displaystyle Y_{l,-m}}$ erhält man aus den ${\displaystyle Y_{lm}}$ durch:

${\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta ,\varphi )=(-1)^{m}\cdot Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}$

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Funktionensystem. Daher können alle quadratintegrablen Funktionen ${\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )}$ (mit ${\displaystyle \vartheta }$ und ${\displaystyle \varphi }$ im Sinne der Kugelkoordinaten) nach den Kugelflächenfunktionen entwickelt werden:

${\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{+l}c_{lm}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

Die Entwicklungskoeffizienten ${\displaystyle c_{lm}}$ berechnen sich zu:

${\displaystyle c_{lm}=\int _{\varphi =0}^{2\pi }\int _{\vartheta =0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\cdot f(\vartheta ,\varphi )\cdot \sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi }$

Dabei ist ${\displaystyle Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}$ das komplex-konjugierte zu ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$. Die Darstellung einer Funktion ${\displaystyle f(x)}$ mit ${\displaystyle \sin }$- und ${\displaystyle \cos }$-Funktion als Fourierreihe ist ein Analogon zur Entwicklung einer zweidimensionalen Funktion ${\displaystyle f(\vartheta ,\varphi )}$ mit ${\displaystyle Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$ auf einer Kugeloberfläche.

Additionstheorem

Ein Resultat für die Kugelflächenfunktionen ist das Additionstheorem. Hierfür seien zwei Einheitsvektoren ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und ${\displaystyle {\vec {x}}'}$ durch Kugelkoordinaten ${\displaystyle (\vartheta ,\,\varphi )}$ bzw. ${\displaystyle (\vartheta ',\,\varphi ')}$ dargestellt. Für den Winkel ${\displaystyle \gamma }$ zwischen diesen beiden Vektoren gilt dann

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \vartheta \cos \vartheta '+\sin \vartheta \sin \vartheta '\cos(\varphi -\varphi ')\,.}$

Das Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen besagt nun

${\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ').}$

Das Theorem kann auch anstelle der Kugelflächenfunktionen ${\displaystyle Y_{lm}}$ mit den zugeordneten Legendrefunktionen ${\displaystyle P_{lm}}$ geschrieben werden

${\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )=P_{l}(\cos \vartheta )P_{l}(\cos \vartheta ')+2\sum _{m=1}^{l}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{lm}(\cos \vartheta )P_{lm}(\cos \vartheta ')\cos(m(\varphi -\varphi ')).}$

Für ${\displaystyle \gamma =0}$ erhält man aus dem Additionstheorem

${\displaystyle \sum _{m=-l}^{l}|Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )|^{2}={\frac {2l+1}{4\pi }}.}$

Dies kann als eine Verallgemeinerung der Identität ${\displaystyle \cos ^{2}\vartheta +\sin ^{2}\vartheta =1}$ auf drei Dimensionen angesehen werden und ist als Unsöld-Theorem (nach Albrecht Unsöld) bekannt.[1]

Die ersten Kugelflächenfunktionen

Die ersten Kugelflächenfunktionen

Ylm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = −3				${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{-3\mathrm {i} \varphi }}$
m = −2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{-2\mathrm {i} \varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{-2\mathrm {i} \varphi }}$
m = −1		${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{-\mathrm {i} \varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{-\mathrm {i} \varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{-\mathrm {i} \varphi }}$
m = 0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\vartheta }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\vartheta }-3\cos {\vartheta }\right)}$
m = 1		${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta }-1\right)\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$
m = 2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{2\mathrm {i} \varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{2\mathrm {i} \varphi }}$
m = 3				${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{3\mathrm {i} \varphi }}$

Anwendungen

Quantenmechanik

Als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators sind die Kugelflächenfunktionen zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zur Nebenquantenzahl ${\displaystyle l}$ als Eigenwert. Daher spielen sie eine große Rolle bei der Beschreibung von Atomzuständen. Ferner ist

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar mY_{l,m}(\theta ,\varphi )}$

Lösung der Laplace-Gleichung

Für jedes ${\displaystyle l}$ ist die Funktion ${\displaystyle r^{l}Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$ Lösung der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen, denn die Funktion ${\displaystyle R_{l}(r)=r^{l}}$ erfüllt gerade obige Gleichung

${\displaystyle \Delta _{r}R_{l}(r)={\frac {l(l+1)}{r^{2}}}R_{l}(r)}$.

Jede Lösung d​er Laplace-Gleichung lässt s​ich nun eindeutig als

${\displaystyle \sum _{l,m}c_{lm}r^{l}Y_{lm}}$

darstellen. Somit lässt sich mit den Kugelflächenfunktionen die Laplace-Gleichung mit sphärischen Dirichlet-Randbedingungen lösen: Legen die Randbedingungen den Wert der Lösung ${\displaystyle f}$, die auf der abgeschlossenen Einheitskugel definiert sein soll, auf eine bestimmte quadratintegrable Funktion ${\displaystyle f|_{S_{2}}}$ auf der Einheitssphäre fest, so lässt sich ${\displaystyle f|_{S_{2}}}$ nach Kugelflächenfunktionen entwickeln, wodurch sich die Koeffizienten ${\displaystyle c_{lm}}$ und damit auf eindeutige Weise ganz ${\displaystyle f}$ ergeben. Auf Grundlage dieser Erkenntnis der Lösbarkeit mit sphärischen Randbedingungen lässt sich die allgemeine Lösbarkeit des Dirichlet-Problems der Laplace-Gleichung für hinreichend glatte Randbedingungen zeigen, dieser Beweis geht auf Oskar Perron zurück.[2] Das Dirichlet-Problem findet Anwendung in der Elektrostatik und Magnetostatik. Zum Lösen der Laplace-Gleichung, bei der eine Funktion gesucht ist, die außerhalb einer Kugel definiert ist und im Unendlichen verschwindet, zu gegebenen Randbedingungen, ist der Ansatz einer Zerlegung

${\displaystyle \sum _{l,m}c_{lm}r^{-l-1}Y_{lm}}$

möglich, d​er ebenfalls s​tets eine Lösung d​er Laplace-Gleichung z​u den gegebenen Randbedingungen liefert.

Siehe auch: Sphärische Multipolentwicklung

Nomenklatur in der Geophysik

Kugelflächenfunktionen werden a​uch in d​er Geophysik verwendet. Man unterscheidet h​ier zwischen:

• zonal (${\displaystyle m=0}$): unabhängig von Längengrad ${\displaystyle \varphi }$
• sektoriell (${\displaystyle m=l}$):

${\displaystyle Y_{ll}(\vartheta ,\varphi ):={\frac {(-1)}{l!}}^{l}{\sqrt {\frac {(2l+1)!}{4^{l+1}\pi }}}\sin ^{l}\vartheta e^{\mathrm {i} l\varphi }}$

• tesseral (sonst): längen- und breitengradabhängig

Literatur

• Eduard Heine: Handbuch der Kugelfunctionen Georg Reimer, Berlin 1861, 2. Auflage 1878.
• Albert Wangerin: Theorie Des Potentials Und Der Kugelfunktionen II Band. Walter de Gruyter, Berlin 1921. (University of Michigan)
• E. W. Hobson: The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics. Cambridge University Press, 1931, Chelsea 1955
• Josef Lense: Kugelfunktionen. Geest u. Portig 1954
• Claus Müller: Spherical Harmonics. Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Nr. 17, 1966

Kugelflächenfunktionen werden a​uch in vielen Lehrbüchern d​er Theoretischen Physik behandelt, z. B.:

• Arnold Sommerfeld: Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6 Partielle Differentialgleichungen der Physik. Harri Deutsch, 1992
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin / New York 1999, S. 649 ff.
• Torsten Fließbach: Elektrodynamik. 4. Auflage, Spektrum, München 2005, S. 99 ff.

Weblinks

• Visualization of Spherical Harmonics
• Hydrogen Atom Orbital Viewer

Einzelnachweise

1. Albrecht Unsöld: Beiträge zur Quantenmechanik der Atome. In: Annalen der Physik. Band 387, Nr. 3, 1927, S. 376–377, doi:10.1002/andp.19273870304.
2. Oskar Perron: Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu=0. In: Mathematische Zeitschrift. Band 18, Nr. 1. Springer, 1923, ISSN 0025-5874, S. 42–54, doi:10.1007/BF01192395.