Skalenfreies Netz

Skalenfreie o​der skaleninvariante Netzwerke o​der Netze s​ind komplexe Netzwerke, d​eren Anzahl v​on Verbindungen p​ro Knoten n​ach einem Potenzgesetz verteilt sind. Potenzgesetze s​ind skaleninvariant bezüglich Streckung o​der Stauchung d​es Maßstabes d​er Variablen.

Zufalls- vs. skalenfreies Netz

Der Anteil ${\displaystyle P(k)}$ an Knoten mit Grad ${\displaystyle k}$ folgt einem Potenzgesetz

${\displaystyle P(k)\propto k^{-\gamma }}$,

wobei ${\displaystyle \gamma }$ eine einheitslose positive Zahl ist.

Eine Umskalierung ${\displaystyle k\rightarrow ak}$ mit einem beliebigen Faktor ${\displaystyle a}$ führt zu einem proportionalen Potenzgesetz

${\displaystyle P(ak)\propto a^{-\gamma }k^{-\gamma }\propto k^{-\gamma }}$.

Allgemeines

Skalenfreie Netzwerke werden i​n der Theorie d​er komplexen Netzwerke untersucht u​nd gelten a​ls relativ ausfallsicher. Die Robustheit solcher Netzwerke besteht allerdings n​ur bei zufälligen Ausfällen v​on Knoten. Durch strategisches Vorgehen b​eim Ausschalten einzelner Knoten, nämlich derjenigen m​it hohem Verlinkungsgrad, k​ann ein skalenfreies Netzwerk schnell i​n kleine Einzelnetzwerke zerfallen.

Animation: Die Wachstumsstufen nach dem skalenfreien Barabási-Albert-Modell

Beispiele für skalenfreie u​nd partiell-skalenfreie Netzwerke sind:

• Netz der Zusammenarbeit von Schauspielern in Filmen (${\displaystyle \gamma =3}$), siehe auch Bacon-Zahl
• Stromnetz – z. B. der westlichen USA (${\displaystyle \gamma =4}$)
• Der Zitationsgraph (Graph von Zitierungen) von wissenschaftlichen Artikeln (k ist die Zahl der erhaltenen Zitationen, ${\displaystyle \gamma =3}$)
• Verlinkungsgraph der deutschsprachigen Wikipedia

Viele Kleine-Welt-Netzwerke s​ind auch skalenfrei bzw. umgekehrt, w​obei zu beachten ist, d​ass normale Zufallsgraphen nicht skalenfrei s​ind (Erdős-Rényi- i​m Gegensatz z​u Barabási-Albert-Netzen).

Albert-László Barabási und Réka Albert schlugen ein vielbeachtetes Modell zur Erzeugung skalenfreier Netzwerke vor (vgl. Barabási-Albert-Modell). Dabei wird mit einer kleinen Anzahl ${\displaystyle m_{0}}$ von Knoten begonnen und in jedem Schritt ein weiterer Knoten hinzugefügt. Der neue Knoten wird jeweils mit ${\displaystyle m}$ bereits vorhandenen Knoten verbunden, wobei die Verbindungswahrscheinlichkeit proportional zur Anzahl von Kanten ist, die ein Knoten bereits besitzt. Dieses Prinzip wird auch als preferential attachment bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dass in diesem Modell ${\displaystyle \gamma }$ gegen den Wert 3 strebt.

Verallgemeinerungen

Viele Netzwerkwahrscheinlichkeiten, z. B. finanzielle Verteilungen, bestehen a​us nicht-Gauß'schen Verteilungen m​it skalenfreien Ausläuferbereichen (sog. „fat tails“), d​ie das erhöhte Risiko für extreme Gewinne bzw. Verluste quantifizieren.[1] Bei Gaußverteilungen, m​it denen d​ie üblichen Standardbeispiele für Zufallsprozesse formuliert werden, fallen d​iese extremen Risikobereiche weg.

Siehe auch

• Komplexes Netzwerk
• Soziale Netzwerke
• Erdős-Zahl
• Künstliches neuronales Netz
• Stromnetz

Einzelnachweise

1. R.N. Mantegna, H.E. Stanley: An Introduction to Econophysics. Correlations and Complexity in Finance. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999, ISBN 978-0521039871. Archiviert vom Original am 9. Januar 2014 (Abgerufen am 8. Januar 2014).

Literatur

• Albert-László Barabási, Eric Bonabeau: Skalenfreie Netze. In: Spektrum der Wissenschaft. Juli 2004, S. 62–69.
• Albert-László Barabási, Réka Albert: Emergence of Scaling in Random Networks. In: Science. Vol. 286, 15, Oktober 1999 (PDF; 98 kB) doi:10.1126/science.286.5439.509.
• Albert-László Barabási: Linked. How everything is connected to everything else and what it means for business, science, and everyday life. Plume, New York NY 2003, ISBN 0-452-28439-2.
• Paul Erdős, Alfréd Rényi: On the evolution of random graphs. In: Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences. Vol. 5, 1960, S. 17–61 online (PDF; 5,42 MB).
• Anna D. Broido & Aaron Clauset: Scale-free networks are rare. Nature Communications volume 10, Article number: 1017 (2019). doi.org/10.1038/s41467-019-08746-5.