Siegelscher Halbraum

Im mathematischen Teilgebiet d​er Funktionentheorie bezeichnet d​er siegelsche Halbraum o​der die siegelsche Halbebene e​ine Verallgemeinerung d​er Halbebene. Dieser Raum i​st benannt n​ach dem Mathematiker Carl Ludwig Siegel, d​er dieses Objekt systematisch untersuchte.

Definition

Der siegelsche (obere) Halbraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{g}}$ von Grad ${\displaystyle g\in \mathbb {N} }$ ist definiert als die Menge der komplexen symmetrischen ${\displaystyle (g\times g)}$-Matrizen, deren Imaginärteil positiv definit ist.

Wirkung der symplektischen Gruppe

Die symplektische Gruppe ${\displaystyle Sp(2g,\mathbb {R} )}$ wirkt auf dem siegelschen Halbraum durch

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)Z=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}}$.

Diese Wirkung ist transitiv, ihre Stabilisatoren sind konjugiert zur orthogonalen Gruppe ${\displaystyle SO(2g)}$.

Man kann den siegelschen Halbraum mit einer riemannschen Metrik versehen, durch die er ein symmetrischer Raum wird isometrisch zu ${\displaystyle Sp(2g,\mathbb {R} )/SO(2g)}$.

Anmerkungen

• Im Fall ${\displaystyle g=1}$ ist der siegelsche Halbraum die bekannte obere Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}} .
• Der siegelsche obere Halbraum trägt eine Operation der symplektischen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$. Der Quotient ist der Modulraum der prinzipal-polarisierten abelschen Varietäten. Im Fall ${\displaystyle g=1}$ parametrisiert der Quotientenraum ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H} }$ elliptische Kurven. Die j-Funktion gibt dabei die j-Invariante der Kurve an.
• Ichirō Satake gab 1957 eine Kompaktifizierung des siegelschen Halbraums an.

Mehrdimensionale Thetareihe

→ Hauptartikel: Thetareihe

Der siegelsche Halbraum spielt a​ls Verallgemeinerung d​er oberen Halbebene e​ine wichtige Rolle b​ei der Definition d​er Thetareihe i​n mehreren komplexen Variablen. Die mehrdimensionale Thetareihe i​st eine Funktion

${\displaystyle \theta \colon \mathbb {C} ^{g}\times {\mathcal {H}}^{g}\to \mathbb {C} ,}$

die durch

${\displaystyle \theta (z,T)=\sum _{n\in \mathbb {Z} ^{g}}\operatorname {exp} (\pi i\langle n,2z+Tn\rangle )}$

definiert ist. Diese Reihe konvergiert normal u​nd stellt d​aher eine holomorphe Funktion dar.

Literatur

• Klaus Lamotke: Riemannsche Flächen. 2. ergänzte und verbesserte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-642-01710-0.