Schwerer Lefschetz-Satz

In d​er Mathematik i​st der schwere Lefschetz-Satz (engl.: hard Lefschetz theorem) e​in zentraler Lehrsatz d​er komplexen Differentialgeometrie.

Die Bezeichnung d​ient der Abgrenzung z​um im Englischen a​ls weak Lefschetz theorem bezeichneten Satz v​on Lefschetz über Hyperebenenschnitte.

Die durch den Satz gegebene Lefschetz-Zerlegung der De-Rham-Kohomologie von Kählermannigfaltigkeiten hat (teils vermutete, teils bewiesene) Analoga in völlig anderen Gebieten der Mathematik, insbesondere die Standardvermutungen der algebraischen Geometrie oder Resultate der Matroidtheorie in der Kombinatorik.

Satz und Folgerungen

Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle 2n}$-dimensionale Kählermannigfaltigkeit mit Kählerform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}(M)}$. Sei

${\displaystyle L\colon \Omega ^{i}(M)\to \Omega ^{i+2}(M)}$

die durch das äußere Produkt mit der Kählerform auf dem Raum der Differentialformen definierte Abbildung. Dann ist für ${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$ die in De-Rham-Kohomologie induzierte Abbildung

${\displaystyle L^{k}\colon H^{n-k}(M)\to H^{n+k}(M)}$

ein Isomorphismus, d​er mit d​em durch Poincaré-Dualität gegebenen Isomorphismus übereinstimmt.

Da ${\displaystyle \omega }$ eine ${\displaystyle (1,1)}$-Form ist, erhält man insbesondere einen Isomorphismus der Dolbeault-Kohomologiegruppen

${\displaystyle H^{p,q}(M)\simeq H^{n-p,n-q}(M)}$

und s​omit die Symmetrie d​es Hodge-Diamanten.

Sei

${\displaystyle PH^{r}(M)=\left\{\alpha \in H^{r}(M)\colon L^{r+1}\alpha =0\right\}}$

die sogenannte primitive Kohomologie von ${\displaystyle M}$, dann folgt aus dem schweren Lefschetz-Satz die Lefschetz-Zerlegung

${\displaystyle H^{k}(M)=\bigoplus _{s}L^{s}(PH^{k-2s}(M))}$.

Literatur

• R. O. Wells: Differential analysis on complex manifolds, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1973.
• C. Voisin: Hodge theory and Complex algebraic geometry, Cambridge Stud. in Adv. Math. 76, 77, 2002/3

Weblinks

• Notes on Lefschetz Decomposition