Schwache Konvergenz in L^p

Die schwache Konvergenz in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ und die schwache Konvergenz in ${\displaystyle L^{p}}$ sind zwei eng miteinander verwandte Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen aus der Maßtheorie. Sie sind ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis für Folgen in L^p-Räumen. Zu beachten ist, dass es in der Maßtheorie und der Stochastik mehrere verschiedene Konzepte von schwacher Konvergenz gibt, diese sollten nicht miteinander verwechselt werden. In Abgrenzung zur schwachen Konvergenz in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ oder ${\displaystyle L^{p}}$ wird die Norm-Konvergenz, also die Konvergenz im p-ten Mittel dann auch als starke Konvergenz in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ oder ${\displaystyle L^{p}}$ bezeichnet.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ sowie ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ und ${\displaystyle q:={\tfrac {1}{1-1/p}}}$, also ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}=0}$, der zu ${\displaystyle p}$ konjugierte Index. Außerdem seien ${\displaystyle f,(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$, kurz ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$, dem Raum der p-fach integrierbaren Funktionen. Die Funktionenfolge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ heißt schwach konvergent gegen ${\displaystyle f}$, wenn für alle ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{q}}$ gilt, dass

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \mu =\int _{X}fg\mathrm {d} \mu }$

ist. Analog definiert man die schwache Konvergenz von Funktionen aus ${\displaystyle L^{p}}$. Man schreibt dann in beiden Fällen ${\displaystyle f_{n}\rightharpoonup f}$.

Einordnung

In der Funktionalanalysis versteht man unter schwacher Konvergenz Folgendes: Ausgehend von einem normierten Vektorraum ${\displaystyle V}$ bildet man den topologischen Dualraum

${\displaystyle V':=\{T\;|\;T\colon V\to \mathbb {K} {\text{ ist linear und stetig }}\}}$.

Eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in N}}$ in ${\displaystyle V}$ heißt dann schwach konvergent gegen ${\displaystyle x\in V}$, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T(x_{n})=T(x){\text{ für alle }}T\in V'}$

ist. Betrachtet man nun als normierten Vektorraum den ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ für ${\displaystyle p=(1,\infty )}$, so ist der Dualraum normisomorph zum ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{q}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ (siehe auch Dualität von Lp-Räumen), wobei ${\displaystyle q}$ der zu ${\displaystyle p}$ konjugierte Index ist, also ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$. Jedes Element aus dem Dualraum ist dann von der Form

${\displaystyle T_{g}(\cdot )=\int g\cdot \mathrm {d} \mu {\text{ für ein }}g\in {\mathcal {L}}^{q}}$.

Somit ist eine Folge von ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {L}}^{p}}$ schwach konvergent in ${\displaystyle L^{p}}$, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{g}(f_{n})=T_{g}(f)}$

für alle ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{q}}$, was der oben angegebenen Definition entspricht. Die schwache Konvergenz in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ ist somit ein Spezialfall der schwachen Konvergenz im Sinne der Funktionalanalysis und auch ein Standardbeispiel für ebendiese.

Eindeutigkeit

Der Grenzwert einer schwach konvergenten Folge in ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ ist nur bis auf eine ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge eindeutig bestimmt. Das bedeutet, dass wenn die Funktionenfolge schwach gegen ${\displaystyle f}$ und schwach gegen ${\displaystyle g}$ konvergiert folgt, dass ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-fast überall ist.

Dementsprechend ist der Grenzwert bei der schwachen Konvergenz in ${\displaystyle L^{p}}$ aufgrund der Unempfindlichkeit gegenüber Nullmengen eindeutig bestimmt.

Beziehung zu anderen Konvergenzbegriffen

Konvergenz lokal nach Maß

Aus der Konvergenz lokal nach Maß folgt für ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ unter Umständen die schwache Konvergenz. Konvergiert eine Folge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ gegen ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}}$ lokal nach Maß und ist die Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (\|f_{n}\|_{p})_{n\in \mathbb {N} }}$ beschränkt, so konvergiert die Folge auch schwach gegen ${\displaystyle f}$.

Für ${\displaystyle p=1}$ ist diese Aussage im Allgemeinen nicht richtig, wie folgendes Beispiel zeigt: Betrachtet man den Maßraum ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\lambda |_{[0,1]})}$, so konvergiert die Folge

${\displaystyle f_{n}=n\chi _{[0,1/n]}}$

lokal nach Maß gegen 0 und es ist ${\displaystyle \|f_{n}\|_{1}=1}$ für alle ${\displaystyle n}$. Aber für die konstante Funktion ${\displaystyle g=1}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }}$ ist dann

${\displaystyle \int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \lambda =1}$.

Somit konvergiert d​ie Folge n​icht schwach g​egen 0.

Konvergenz im p-ten Mittel

Jede im p-ten Mittel konvergente Folge konvergiert für ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ auch schwach, denn aus der Hölder-Ungleichung folgt

${\displaystyle \left|\int _{X}f_{n}g\mathrm {d} \mu -\int _{X}fg\mathrm {d} \mu \right|\leq \|f_{n}-f\|_{p}\|g\|_{q}}$,

somit existiert eine konvergente Majorante. Die Grenzwerte stimmen dann überein. Der Satz von Radon-Riesz liefert unter einer Voraussetzung auch die Umkehrung. Er besagt, dass für ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ eine Funktionenfolge genau dann im p-ten Mittel konvergiert, wenn sie schwach konvergiert und die Folge der Normen der Funktionenfolge gegen die Norm der Grenzfunktion konvergiert.

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.