Konjugierter Index

Der konjugierte Index ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus der Funktionalanalysis. Einer positiven reellen Zahl, die als Index aufgefasst wird, wird durch eine Gleichung eine andere positive Zahl zugeordnet und konjugierter Index genannt. Der Begriff wird insbesondere im Zusammenhang mit den ${\displaystyle L^{p}}$-Räumen und der Hölder-Ungleichung verwendet.

Definition

Eine positive reelle Zahl ${\displaystyle q}$ heißt konjugierter Index zur positiven reellen Zahl ${\displaystyle p}$, falls[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}&=1\\\Leftrightarrow p+q&=p\cdot q\\\Leftrightarrow 1&=(p-1)\cdot (q-1)\end{aligned}}}$

gilt. Insbesondere ist dann auch die Zahl ${\displaystyle p}$ ein konjugierter Index von ${\displaystyle q}$.

Anwendung

Vor a​llem in d​er Integralrechnung, a​ber auch i​n der klassischen Analysis w​ie in d​er Stochastik treten konjugierte Zahlenpaare auf. Üblicherweise findet d​ie erste Begegnung m​it zwei miteinander konjugierten Zahlen b​ei der Definition d​er Hölder-Ungleichung statt, w​o die Norm e​ines Produktes v​on Elementen d​urch das Produkt d​er zugehörigen p- u​nd q-Normen d​er jeweiligen Elemente abgeschätzt werden kann.

Beispiel

Das typische Beispiel für zueinander konjugierte Zahlen ist die Zahl 2, die konjugiert zu sich selbst ist. Zumeist sind die Spezialfälle von Aussagen über konjugierte Zahlen mit ${\displaystyle p=q=2}$ vor allem historisch interessant, zum Beispiel ist die oben erwähnte Hölder-Ungleichung eine spätere Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Weblinks

• conjugate index auf PlanetMath

Einzelnachweise

1. Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real analysis. Prentice-Hall, Upper Saddle River, N.J. 1997, ISBN 978-0-13-458886-5, S. 536.