Schwach-kompakter Operator

Schwach-kompakte Operatoren werden i​n der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt s​ich dabei u​m eine Klasse linearer beschränkter Operatoren zwischen Banachräumen m​it einer zusätzlichen Kompaktheitseigenschaft, d​ie den kompakten Operatoren nachempfunden ist. Diese Begriffsbildung spielt e​ine wichtige Rolle i​n der Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Definition

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume. Ein linearer Operator ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ heißt schwach-kompakt, wenn für jede beschränkte Menge ${\displaystyle B\subset X}$ der schwache Abschluss ${\displaystyle {\overline {T(B)}}^{w}}$ des Bildes schwach kompakt ist.[1]

Ersetzt m​an in dieser a​uf S. Kakutani u​nd K. Yosida zurückgehenden Definition d​ie schwache Topologie d​urch die Normtopologie, s​o erhält m​an genau d​en Begriff d​es kompakten Operators.

Eigenschaften

Für einen linearen Operator ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ zwischen Banachräumen gilt:

${\displaystyle T}$ kompakter Operator ${\displaystyle \Rightarrow \,T}$ schwach-kompakter Operator${\displaystyle \Rightarrow \,T}$ beschränkter Operator.

Die Umkehrungen gelten nicht, wie die identischen Operatoren auf den Folgenräumen ${\displaystyle \ell ^{1}}$ und ${\displaystyle \ell ^{2}}$ zeigen.

• ${\displaystyle {\rm {id}}_{\ell ^{1}}}$ ist beschränkt, aber nicht schwach-kompakt.
• ${\displaystyle {\rm {id}}_{\ell ^{2}}}$ ist schwach-kompakt, aber nicht kompakt.

Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume, von denen mindestens einer reflexiv ist, so ist jeder beschränkte lineare Operator zwischen ihnen schwach-kompakt.

Summen, skalare Vielfache und Norm-Grenzwerte schwach-kompakter Operatoren sind wieder schwach-kompakt. Ein Produkt ${\displaystyle ST}$ beschränkter linearer Operatoren ist schwach-kompakt, wenn einer der Faktoren ${\displaystyle S}$ oder ${\displaystyle T}$ schwach-kompakt ist. Die Menge aller schwach-kompakten Operatoren zwischen den Banachräumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ ist daher bezüglich der Operatornorm wieder ein Banachraum. Im Falle ${\displaystyle X=Y}$ liegt ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in der Banachalgebra aller beschränkten Operatoren auf ${\displaystyle X}$ vor.

Charakterisierungen

Der folgende einfache Satz charakterisiert d​ie schwache Kompaktheit:

Für einen linearen Operator ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ zwischen Banachräumen sind

folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle T}$ ist schwach-kompakt.
• ${\displaystyle T(\{x\in X;\|x\|\leq 1\})}$ ist relativ schwach-kompakt.
• Jede beschränkte Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ in ${\displaystyle X}$ hat eine Teilfolge ${\displaystyle (x_{n_{m}})_{m}}$, so dass ${\displaystyle (Tx_{n_{m}})_{m}}$ in ${\displaystyle Y}$ schwach konvergiert.

In der folgenden auf V. R. Gantmacher (für den Fall separabler Räume) und Nakamura (für den allgemeinen Fall) zurückgehenden Charakterisierung bezeichne ${\displaystyle j_{X}}$ die kanonische Einbettung in den Bidualraum ${\displaystyle X''}$.

Für einen linearen Operator ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:[2]

• ${\displaystyle T}$ ist schwach-kompakt.
• ${\displaystyle T''(X'')\subset j_{Y}(Y)\subset Y''}$.

Satz von Gantmacher

In Analogie z​um Satz v​on Schauder g​ilt der folgende

Satz von Gantmacher:[3] Für einen linearen Operator ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle T}$ ist schwach-kompakt.
• Der adjungierte Operator ${\displaystyle T'\colon Y'\rightarrow X'}$ ist schwach-kompakt.

Daraus kann man eine weitere Charakterisierung herleiten: Für einen linearen Operator ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle T}$ ist schwach-kompakt.
• ${\displaystyle T'\colon Y'\rightarrow X'}$ ist schwach*-schwach-stetig.

Faktorisierung über reflexive Räume

Man sagt, ein stetiger, linearer Operator ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ faktorisiert über einen Banachraum ${\displaystyle Z}$, falls es stetige lineare Operatoren ${\displaystyle S\colon X\rightarrow Z}$ und ${\displaystyle R\colon Z\rightarrow Y}$ gibt mit ${\displaystyle T=R\circ S}$. Da ein stetiger, linearer Operator zwischen zwei Banachräumen, von denen einer reflexiv ist, nach obigen Eigenschaften schwach-kompakt ist und da Produkte von stetigen linearen Operatoren bereits dann schwach-kompakt sind, wenn mindestens ein Faktor schwach-kompakt ist, muss bereits jeder stetige, lineare Operator, der über einen reflexiven Raum faktorisiert, schwach-kompakt sein. Nach einem Satz von Davis, Figiel, Johnson und Pełczyński gilt hiervon auch die Umkehrung, das heißt, man hat insgesamt die folgende Charakterisierung schwach-kompakter Operatoren:[4][5]

• Ein stetiger, linearer Operator ist genau schwach-kompakt, wenn er über einen reflexiven Banachraum faktorisiert. Dabei können die Normen der Faktoren durch das Doppelte der Norm des Ausgangsoperators begrenzt werden.

Schwach-kompakte Operatoren auf C(K)

Es sei ${\displaystyle K}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle C(K)}$ sei der Funktionenraum der stetigen Funktionen ${\displaystyle K\rightarrow \mathbb {R} }$ mit der Supremumsnorm. Dann lassen sich die schwach-kompakten Operatoren ${\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}$ mit Werten in einem Banachraum ${\displaystyle X}$ wie folgt angeben:[6]

Es sei ${\displaystyle \mu }$ ein reguläres, vektorielles Maß auf ${\displaystyle K}$ (mit der borelschen σ-Algebra) mit Werten in ${\displaystyle X}$. Regularität bedeutet hier, dass die skalaren Maße ${\displaystyle \varphi \circ \mu }$ für alle ${\displaystyle \varphi \in X'}$ regulär sind. Dann ist durch

${\displaystyle T_{\mu }f:=\int _{K}f\mathrm {d} \mu }$

ein schwach-kompakter Operator ${\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}$ gegeben. Die Operatornorm von ${\displaystyle T_{\mu }}$ ist gleich der Semivariation des Maßes ${\displaystyle \mu }$.

Umgekehrt hat jeder schwach-kompakte Operator ${\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X}$ diese Gestalt, das heißt, es gibt ein reguläres vektorielles Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle K}$ mit Werten in ${\displaystyle X}$, so dass der Operator durch obige Formel beschrieben wird, das heißt, es gilt ${\displaystyle T=T_{\mu }}$.

So ein schwach-kompakter Operator ${\displaystyle T_{\mu }\colon C(K)\rightarrow X}$ ist genau dann kompakt, wenn ${\displaystyle \{\mu (A)|A\subset K{\text{ Borel-messbar}}\}\subset X}$ relativ kompakt ist.[7] Damit konstruiert man leicht weitere Beispiele schwach-kompakter Operatoren, die nicht kompakt sind.

Einzelnachweise

1. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 3.5.1
2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.5.8
3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.5.13
4. W. J. Davis, T. Figiel, W. B. Johnson, A. Pełczyński: Factoring weakly compact operators. J. Functional Analysis (1974), Band 17 No. 3, S. 311–327.
5. P. Wojtaszczyk: Banach spaces for analysts. Cambridge University Press 1991, ISBN 0-521-35618-0, II.C.5
6. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.25
7. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces. Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Theorem 5.27