Satz von Whitney-Graustein

Der Satz v​on Whitney-Graustein i​st ein Lehrsatz a​us der Differentialtopologie. Er klassifiziert Kurven i​n der Ebene mittels d​er von Carl Friedrich Gauß eingeführten Tangentenumlaufzahl.

Er i​st nach Hassler Whitney u​nd William Caspar Graustein benannt.[1]

Kurven in der Ebene

Eine geschlossene reguläre Kurve in der Ebene ist eine Abbildung ${\displaystyle f\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle f^{\prime }(x)\not =(0,0)}$ für alle ${\displaystyle x}$. Zwei reguläre Kurven heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie zwischen ihnen gibt, die zu jedem Zeitpunkt eine reguläre Kurve ist.

Die Umlaufzahl einer Kurve ${\displaystyle \gamma }$ in Bezug auf einen Punkt ${\displaystyle z_{0}}$ stellt die Anzahl der Umrundungen entgegen der Uhrzeigerrichtung um ${\displaystyle z_{0}}$ dar, wenn man dem Verlauf der Kurve folgt. Eine Umrundung in Uhrzeigerrichtung ergibt die negative Windungszahl −1.

Windungszahl

${\displaystyle \gamma }$	1	−1	0	1	2
${\displaystyle {\mathcal {T}}}$	1	−1	2	2	2

Die Tangentenumlaufzahl ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ einer regulären Kurve ist die Umlaufzahl der Tangente ${\displaystyle f'(x)}$ als Abbildung ${\displaystyle S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}$ in Bezug auf den Nullpunkt ${\displaystyle (0,0)}$.

Satz von Whitney-Graustein

Der Satz v​on Whitney-Graustein besagt, d​ass geschlossene reguläre Kurven i​n der Ebene g​enau dann regulär homotop sind, w​enn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

Verallgemeinerungen

Smale verallgemeinerte diesen Satz auf Kurven in höher-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und noch allgemeiner auf Immersionen von Sphären: für ${\displaystyle k\leq n-1}$ sind zwei Immersionen ${\displaystyle S^{k}\to \mathbb {R} ^{n}}$ genau dann regulär homotop, wenn ihre Obstruktionsklassen ${\displaystyle \tau (f)\in \pi _{k}V_{n,k+1}}$ in der Homotopiegruppe der Stiefel-Mannigfaltigkeit übereinstimmen.

Literatur

• H. Whitney: On regular curves in the plane, Compos. Math. 4, 276–284, 1937. numdam (pdf)
• K. Mehlhorn, C.-K. Yap: Constructive Whitney-Graustein Theorem: or how to untangle closed planar curves, SIAM J. Comput. 20, 603–621, 1991.

Weblinks

• Whitney-Graustein Theorem (Encyclopedia of Mathematics)
• Whitney-Graustein Theorem (MathWorld)

Einzelnachweise

1. Whitney, Compositio Math., Band 4, 1937, S. 279, schreibt, dass ihm der Satz mit Beweis von Graustein zur Kenntnis gebracht wurde