Tangentenumlaufzahl

In d​er Mathematik m​isst die Tangentenumlaufzahl o​der Tangentendrehzahl (engl.: turning number) d​ie Anzahl d​er Umdrehungen e​iner geschlossenen Kurve.

Definition

Tangentenrichtungen

Eine geschlossene reguläre Kurve i​n der Ebene i​st eine Abbildung

${\displaystyle c\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$

mit ${\displaystyle f^{\prime }(x)\not =(0,0)}$ für alle ${\displaystyle x}$.

Ihre Tangentenumlaufzahl ist die Umlaufzahl der Tangente als Abbildung

${\displaystyle {\dot {c}}\colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(0,0)\right\}}$

in Bezug auf den Nullpunkt ${\displaystyle (0,0)}$, also die Anzahl der Umrundungen von ${\displaystyle {\dot {c}}}$ entgegen der Uhrzeigerrichtung um den Nullpunkt.

Tangentenumlaufzahl und Totalkrümmung

Die Tangentenumlaufzahl kann als die durch ${\displaystyle 2\pi }$ dividierte Totalkrümmung der Kurve

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{S^{1}}k(\theta )d\theta }$,

wobei ${\displaystyle k(\theta )}$ die Krümmung der Kurve im Punkt ${\displaystyle f(\theta )}$ bezeichnet.

Eine Kurve mit Umlaufzahl > 1 muss einen Doppelpunkt haben.

Klassifikation regulärer Kurven bis auf reguläre Homotopie

Der Satz v​on Whitney-Graustein besagt, d​ass zwei reguläre Kurven i​n der Ebene g​enau dann regulär homotop sind, w​enn sie dieselbe Tangentenumlaufzahl haben.

Umlaufsatz

Der Umlaufsatz v​on Heinz Hopf besagt, d​ass die Tangentenumlaufzahl e​iner Kurve o​hne Selbstdurchdringungen 1 o​der −1 s​ein muss.

Literatur

• Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. De Gruyter Studium, 2002. ISBN 978-3-11-022459-7