Satz von Weyl (Lie-Algebra)

Der Satz v​on Weyl, benannt n​ach Hermann Weyl, i​st ein wichtiger Satz a​us der Theorie d​er Lie-Algebren. Er besagt i​m Wesentlichen, d​ass man endlichdimensionale Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren a​us irreduziblen zusammensetzen kann, sofern d​er Grundkörper algebraisch abgeschlossen i​st und d​ie Charakteristik 0 hat.

Begriffe

Eine Darstellung einer Lie-Algebra über einem Vektorraum ist ein Lie-Algebren-Homomorphismus von , wobei letzteres die allgemeine lineare Lie-Algebra über bezeichnet, d. h. die Menge aller linearen Operatoren mit der Kommutator-Klammer als Verknüpfung. Die Dimension des Vektorraums heißt auch Dimension der Darstellung. Ein Untervektorraum heißt invariant, falls für alle . Invariante Unterräume sind deshalb interessant, weil wieder eine Darstellung ist. Man hat stets die sogenannten trivialen invarianten Unterräume und ; gibt es nur diese, so nennt man die Darstellung irreduzibel, denn sie kann nicht durch weitere invariante Unterräume vereinfacht (reduziert) werden. Eine Darstellung heißt nun vollständig reduzibel, falls es vom Nullvektorraum verschiedene, invariante Unterräume , so dass die direkte Summe dieser Unterräume ist und jede Darstellung irreduzibel ist. Vollständig reduzible Darstellungen können also in ihre irreduziblen Bestandteile zerlegt werden. Daher sind Sätze, die die vollständige Reduzibilität von Darstellungen sichern, sehr wichtig, insbesondere dann, wenn man alle irreduziblen Darstellungen kennt.

Formulierung des Satzes

Jede endlichdimensionale Darstellung e​iner halbeinfachen Lie-Algebra über e​inem algebraisch abgeschlossenen Körper d​er Charakteristik 0 i​st vollständig reduzibel.

Ein Beweis für -Lie-Algebren findet sich im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb[1], dort wird dieser Satz auf das sogenannte Lemma von Whitehead über das Verschwinden gewisser Kohomologie-Gruppen zurückgeführt. Ein Beweis, der Kohomologie-Theorie vermeidet, findet sich bei Humphreys.[2]

Positive Charakteristik

Der Satz von Weyl wird falsch für Charakteristik . Ist ein solcher Körper, so betrachte die Lie-Algebra

,

die bekanntlich v​on

erzeugt wird. Für ist diese Lie-Algebra einfach, insbesondere also halbeinfach.

Weiter sei der Vektorraum der Polynome in zwei Unbestimmten. Durch die Formeln

   (für )

wird eine unendlichdimensionale Darstellung definiert. Da die so definierte Operation von die Grade der Polynome unverändert lässt, sind die von den homogenen Polynomen erzeugten Unterräume invariant. Man kann nun zeigen, dass die endlich-dimensionale Darstellung nicht vollständig reduzibel ist. In der Tat ist der von und erzeugte Unterraum invariant, denn ist die Nulldarstellung, da die Ableitungen den Faktor erzeugen, was für Körper der Charakteristik der Multiplikation mit 0 gleichkommt, und es gibt keine invarianten, direkten Summanden von in .[3] Daher ist der Satz von Weyl hier nicht gültig.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3
  2. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Abschnitt 6.3: Weyl's Theorem
  3. Dimitriy Rumynin: Modular Lie-Algebras, Kapitel 2: Things that fail in positive characteristic
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