Homogenes Polynom

Ein (multivariables) Polynom heißt homogen, f​alls alle Monome, a​us denen d​as Polynom besteht, d​en gleichen Grad haben. Homogene Polynome werden a​uch als Formen bezeichnet.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Eins und ${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$ der Polynomring über ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle n}$ Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom ${\displaystyle p\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$, für das ein ${\displaystyle \alpha \in R}$ mit

${\displaystyle p=\alpha X_{1}^{i_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{i_{n}}}$

existiert. Der Grad dieses Monoms ist

${\displaystyle \mathrm {deg} (p)=i_{1}+\dotsb +i_{n}.}$

Ein Polynom in ${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$ wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

Eigenschaften

• ${\displaystyle f\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$ ist genau dann homogen vom Grad ${\displaystyle k}$, wenn in ${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}][T]}$ gilt:[1]

${\displaystyle f(TX_{1},\dotsc ,TX_{n})=T^{k}\cdot f(X_{1},\dotsc ,X_{n})}$

• Bei einem Polynomring über einem Integritätsring ist ein Produkt von Polynomen genau dann homogen, wenn jeder Faktor homogen ist.[2]

Beispiele

• Jedes Monom ist homogen.
• Die Menge aller homogenen Polynome in ${\displaystyle R[X]}$, dem Polynomring in einer Variablen über ${\displaystyle R}$, ist gegeben durch

${\displaystyle \{aX^{n}\;\mid \;a\in R,\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\}\}.}$

• Einfache Beispiele für homogene Polynome in ${\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y]}$ (siehe ganze Zahlen):
  • ${\displaystyle X^{4}-Y^{4}}$ ist homogen wegen ${\displaystyle \deg(X^{4})=\deg(Y^{4})=4.}$
  • ${\displaystyle X^{7}+5X^{3}Y^{4}+XY^{6}}$ ist homogen wegen ${\displaystyle \deg(X^{7})=\deg(X^{3}Y^{4})=\deg(XY^{6})=7.}$
• Beispiele für nicht-homogene Polynome in ${\displaystyle \mathbb {Q} [X,Y,Z]}$ (siehe rationale Zahlen):
  • ${\displaystyle X^{4}Z-{\frac {3}{4}}YZ^{2}}$ ist nicht homogen wegen ${\displaystyle \deg(X^{4}Z)=5\neq 3=\deg(YZ^{2}).}$
  • ${\displaystyle X^{3}Y^{3}Z^{2}-3X^{2}Y^{6}-{\frac {7}{3}}Y^{5}}$ ist nicht homogen wegen ${\displaystyle \deg(X^{3}Y^{3}Z^{2})=\deg(X^{2}Y^{6})=8}$ und ${\displaystyle \deg(Y^{5})=5.}$

Graduierung

Jedes Polynom lässt s​ich auf eindeutige Weise a​ls Summe v​on homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, i​ndem man a​lle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt s​ich also a​ls eine direkte Summe schreiben:

${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]=\bigoplus _{d\geq 0}A_{d},}$

wobei

${\displaystyle A_{d}=\bigoplus _{e_{1}+\dotsb +e_{n}=d,\ e_{i}\geq 0}R\cdot X_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{e_{n}}}$

die Menge der homogenen Polynome vom Grad ${\displaystyle d}$ zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt

${\displaystyle A_{d}\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},}$

der Polynomring i​st also e​in graduierter Ring.

Verallgemeinerung

Allgemein heißen i​n einem graduierten Ring

${\displaystyle \bigoplus _{d\geq 0}A_{d}}$

die Elemente aus ${\displaystyle A_{d}}$ homogen vom Grad ${\displaystyle d}$.

Siehe auch

• Homogene Funktion

Einzelnachweise

1. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.
2. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Produkt homogener Polynome.

Literatur

• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, S. 169.