Satz von Maschke

Der Satz v​on Maschke (nach Heinrich Maschke, 1899) i​st eine zentrale Aussage a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Darstellungstheorie endlicher Gruppen. Er besagt, d​ass Darstellungen außer i​m Spezialfall modularer Darstellungen a​us irreduziblen Darstellungen zusammengesetzt sind.

Es seien ${\displaystyle G}$ eine endliche Gruppe und ${\displaystyle K}$ ein Körper. Das Wesen der Theorie der ${\displaystyle K}$-linearen Darstellungen von ${\displaystyle G}$ hängt fundamental davon ab, ob die Charakteristik von ${\displaystyle K}$ ein Teiler der Ordnung von ${\displaystyle G}$ ist oder nicht. In ersterem Falle spricht man von modularen Darstellungen. Der Unterschied liegt im Wesentlichen in der Aussage des Satzes von Maschke begründet.

Nicht modularer Fall

Es gelte ${\displaystyle \operatorname {char} K\nmid \#G}$; dies ist insbesondere dann der Fall, wenn ${\displaystyle K}$ Charakteristik 0 hat, also beispielsweise für ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ .

Dann besagt d​er Satz v​on Maschke:

Jede ${\displaystyle K}$-lineare Darstellung von ${\displaystyle G}$ ist eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen.

Äquivalente Formulierungen sind:

• Jede Darstellung ist halbeinfach.
• Jeder ${\displaystyle G}$-invariante Unterraum ${\displaystyle U}$ einer Darstellung ${\displaystyle V}$ besitzt ein ${\displaystyle G}$-invariantes Komplement ${\displaystyle W}$, d. h. ${\displaystyle V=U\oplus W}$.

Modulare Darstellungen

Gilt dagegen ${\displaystyle \operatorname {char} K\mid \#G}$, so gilt: Der Gruppenring ${\displaystyle K[G]}$ ist nicht vollständig reduzibel, d. h. die reguläre Darstellung ${\displaystyle G\rightarrow GL_{K}(K[G])}$ ist nicht vollständig reduzibel.

Nicht jeder ${\displaystyle K[G]}$-Untermodul von ${\displaystyle K[G]}$ hat ein Komplement.

Siehe auch

Darstellungstheorie endlicher Gruppen

Literatur

Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 9.3 "Der Satz v​on Maschke"