Satz von Straszewicz

Der Satz v​on Straszewicz (englisch Straszewicz's theorem) i​st ein Lehrsatz d​es mathematischen Gebiets d​er Konvexgeometrie u​nd als solcher angesiedelt zwischen d​en Gebieten d​er Geometrie u​nd der Analysis. Er g​eht zurück a​uf eine wissenschaftliche Arbeit d​es Mathematikers Stefan Straszewicz a​us dem Jahre 1935. Der Straszewicz'sche Satz i​st verwandt m​it dem Satz v​on Krein-Milman u​nd behandelt d​ie Frage, i​n welcher Beziehung i​m euklidischen Raum d​ie exponierten Punkte u​nd die Extremalpunkte gewisser Punktmengen zueinander stehen. Wie d​er Satz zeigt, bilden für e​ine große Klasse v​on Punktmengen d​ie exponierten Punkte e​ine dichte Teilmenge innerhalb d​er Extremalpunkte.[1][2][3][4]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich zusammengefasst w​ie folgt darstellen:[3][5][6]

Für eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ gilt stets:

(i) Jeder Extremalpunkt von ${\displaystyle T}$ ist Berührpunkt der Menge der exponierten Punkte von ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle \operatorname {ext} {T}\subseteq {\overline {\operatorname {exp} {T}}}}$.

(ii) Ist ${\displaystyle T}$ dabei ein konvexes Kompaktum, so gilt sogar:

${\displaystyle T={\overline {\operatorname {conv} \left(\operatorname {exp} {T}\right)}}}$.

Analogon für normierte Räume

Der US-amerikanische Mathematiker Victor Klee hat im Jahre 1958 ein dem Satz von Straszewicz analoges Resultat vorgelegt für den allgemeineren Fall, dass ein normierter ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum vorliegt. Dieses Resultat wird als Satz von Klee–Straszewicz bezeichnet und lässt sich angeben wie folgt:[7][8]

In einem normierten ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ gilt für jede darin enthaltene kompakte und konvexe Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$

${\displaystyle \operatorname {ext} {T}\subseteq {\overline {\operatorname {exp} {T}}}}$

und

${\displaystyle T={\overline {\operatorname {conv} \left(\operatorname {exp} {T}\right)}}}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ein exponierter Punkt von ${\displaystyle T}$ ist ein Punkt ${\displaystyle p\in T}$, zu dem eine ${\displaystyle T}$-Stützhyperebene ${\displaystyle H\subset X}$ existiert, so dass ${\displaystyle H\cap T=\{p\}}$ gilt. Die Menge der exponierten Punkte von ${\displaystyle T}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {exp} {T}}$ bezeichnet.[9][10]
• Für eine konvexe Teilmenge von ${\displaystyle X}$ ist stets jeder ihrer exponierten Punkte auch ein Extremalpunkt und jeder ihrer Extremalpunkte stets auch einer ihrer Randpunkte. Es gilt also in diesem Falle ${\displaystyle \operatorname {exp} {T}\subseteq \operatorname {ext} {T}\subseteq \partial {T}}$.[11]
• Der Satz von Straszewicz wird in der Monographie von Kurt Leichtweiß auch als Darstellungssatz von Straszewicz bezeichnet(, wobei sich Leichtweiß lediglich auf die obige Mengengleichung bezieht).[12]

Literatur

• Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes (= Graduate Texts in Mathematics. Band 90). Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1983, ISBN 0-387-90722-X (MR0683612).
• Branko Grünbaum: Convex Polytopes (= Graduate Texts in Mathematics. Band 221). Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2003, ISBN 0-387-00424-6 (MR1976856).
• Victor L. Klee, Jr.: Extremal structure of convex sets. II. In: Mathematische Zeitschrift. Band 69, 1958, S. 90–104, doi:10.1007/BF01187394 (MR0092113).
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235).
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
• S. Straszewicz: Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen. In: Fundamenta Mathematicae. Band 24, 1935, S. 139–143.

Einzelnachweise

1. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 35–45
2. Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 94–97
3. Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes. 1983, S. 37
4. Branko Grünbaum: Convex Polytopes. 2003, S. 19
5. Leichtweiß, op. cit. , S. 42–43
6. Marti, op. cit., S. 94, S. 97
7. Victor L. Klee, Jr.: Extremal structure of convex sets. II. Math. Z. 69, S. 91
8. Marti, op. cit., S. 125–130
9. Leichtweiß, op. cit. , S. 41
10. Marti, op. cit., S. 34, S. 90
11. Marti, op. cit., S. 34, S. 91
12. Leichtweiß, op. cit. , S. 42