Satz von Platonow

Der Satz v​on Platonow i​st ein Lehrsatz a​us dem mathematischen Gebiet d​er Gruppentheorie. Aus i​hm folgen d​er Satz v​on Malcev u​nd das Lemma v​on Selberg. Er w​urde von Wladimir Petrowitsch Platonow bewiesen.

Definitionen

Es sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl. Eine ${\displaystyle p}$-Gruppe ist eine Gruppe ${\displaystyle G}$, in der die Ordnung jedes Elements eine Potenz von ${\displaystyle p}$ ist.

Eine residuell ${\displaystyle p}$-endliche Gruppe ist eine Gruppe ${\displaystyle G}$, in der es zu jedem Element ${\displaystyle g\in G\setminus \left\{1\right\}}$ einen surjektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f\colon G\to P}$ auf eine endliche ${\displaystyle p}$-Gruppe ${\displaystyle P}$ gibt mit ${\displaystyle f(g)\not =e}$, wobei ${\displaystyle e\in P}$ das neutrale Element bezeichnet.

Eine virtuell residuell ${\displaystyle p}$-endliche Gruppe ist eine Gruppe ${\displaystyle G}$, die eine Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ von endlichem Index enthält, die residuell ${\displaystyle p}$-endlich ist.

Satz von Platonow

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle G\subset GL(n,K)}$ eine endlich erzeugte Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.

Wenn die Charakteristik ${\displaystyle \mathrm {char} (K)=p}$ eine Primzahl ist, dann ist ${\displaystyle G}$ eine virtuell residuell ${\displaystyle p}$-endliche Gruppe.

Wenn ${\displaystyle \mathrm {char} (K)=0}$ ist, dann ist ${\displaystyle G}$ eine virtuell residuell ${\displaystyle p}$-endliche Gruppe für fast alle Primzahlen ${\displaystyle p}$.

Anwendungen

Aus dem Satz von Platonow folgen zwei grundlegende und häufig verwendete Eigenschaften endlich erzeugter Matrixgruppen, nämlich der Satz von Malcev (endlich erzeugte Untergruppen von ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ sind residuell endlich) und das Lemma von Selberg (endlich erzeugte Untergruppen von ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ sind virtuell torsionsfrei).

Literatur

• V. P. Platonov: A certain problem for finitely generated groups. (russisch) Dokl. Akad. Nauk BSSR 12 (1968) 492–494.
• B. A. F. Wehrfritz: Infinite linear groups. An account of the group-theoretic properties of infinite groups of matrices. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 76. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.

Weblinks

• B. Nica: Linear groups - Malcev's theorem and Selberg's lemma