Lemma von Selberg

Als Lemma von Selberg wird in der Mathematik ein grundlegender Sachverhalt über Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe bezeichnet. (Gelegentlich wird die Bezeichnung Lemma von Selberg auch für den Satz von Malcev, einen anderen grundlegenden Sachverhalt über Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe verwendet.). Es ist nach Atle Selberg benannt.

Lemma von Selberg

Wenn $K$ ein Körper der Charakteristik $0$ ist, dann ist jede endlich erzeugte Untergruppe von $GL(n,K)$ virtuell torsionsfrei, das heißt, sie enthält eine torsionsfreie Untergruppe von endlichem Index.

Selberg veröffentlichte seinen Beweis 1960;[1] im Jahr 1976 gab J. W. S. Cassels einen einfacheren Beweis an[2], ein anderer elementarer Beweis stammt von Roger Alperin[3].

Eine geometrische Interpretation: Jede 3-dimensionale hyperbolische Orbifaltigkeit wird von einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit endlich überlagert, allgemeiner jede nach $SL(n,\mathbb {C} )/SU(n)$ oder $SL(n,\mathbb {R} )/SO(n)$ modellierte lokal symmetrische Orbifaltigkeit wird von einem lokal symmetrischen Raum endlich überlagert.

Ein Beispiel von M. Kapovich zeigt, dass sich die Aussage des Lemmas nicht auf diskrete Isometriegruppen negativ gekrümmter Mannigfaltigkeiten verallgemeinern lässt.[4]

Beispiel

$SL(2,\mathbb {Z} )$ ist eine endlich erzeugte Untergruppe von $GL(2,\mathbb {R} )$ , ein Erzeugendensystem ist zum Beispiel $\left\{A=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right),B=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)\right\}$ .

$SL(2,\mathbb {Z} )$ ist nicht torsionsfrei, zum Beispiel ist $A^{4}=1$ , jedoch sind die Kongruenzuntergruppen

\Gamma (N):=\mathrm {ker} (SL(2,\mathbb {Z} )\to SL(2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))

Untergruppen von endlichem Index und nach einem klassischen Satz von Minkowski (1887) torsionsfrei für $N\geq 3$ .

Literatur

Ratcliffe, John G.: Foundations of hyperbolic manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 149. Springer, New York, 2006. ISBN 978-0387-33197-3; 0-387-33197-2. (§7.5)

Weblinks

Nica: Linear groups - Malcev's theorem and Selberg's lemma

Einzelnachweise

Selberg, Atle: On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces. 1960 Contributions to function theory (internat. Colloq. Function Theory, Bombay, 1960) pp. 147–164 Tata Institute of Fundamental Research, Bombay
Cassels, J. W. S.: An embedding theorem for fields. Bull. Austral. Math. Soc. 14 (1976), no. 2, 193–198.
Alperin, Roger C.: An elementary account of Selberg's lemma. Enseign. Math. (2) 33 (1987), no. 3–4, 269–273.
M. Kapovich: „A note on Selberg‘s Lemma and negatively curved Hadamard manifolds“, ArXiv

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[1] Selberg, Atle: On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces. 1960 Contributions to function theory (internat. Colloq. Function Theory, Bombay, 1960) pp. 147–164 Tata Institute of Fundamental Research, Bombay

[2] Cassels, J. W. S.: An embedding theorem for fields. Bull. Austral. Math. Soc. 14 (1976), no. 2, 193–198.

[3] Alperin, Roger C.: An elementary account of Selberg's lemma. Enseign. Math. (2) 33 (1987), no. 3–4, 269–273.

[4] M. Kapovich: „A note on Selberg‘s Lemma and negatively curved Hadamard manifolds“, ArXiv