Satz von Kutta-Joukowski

Der Satz v​on Kutta-Joukowski n​ach anderer Transkription a​uch Kutta-Schukowski, Kutta-Zhoukovski o​der englisch Kutta-Zhukovsky, beschreibt i​n der Strömungslehre d​ie Proportionalität zwischen dynamischen Auftriebs u​nd Zirkulation

${\displaystyle F_{\mathrm {A} }'=-\rho \cdot v_{\infty }\cdot \Gamma }$

wobei

${\displaystyle F_{\mathrm {A} }'}$ für die Auftriebskraft pro Spannweite

${\displaystyle \rho }$ für die Dichte des umströmenden Mediums

${\displaystyle v_{\infty }}$ für die ungestörte Anströmgeschwindigkeit

${\displaystyle \Gamma }$ für die Zirkulation

stehen. Er i​st benannt n​ach dem deutschen Mathematiker Martin Wilhelm Kutta s​owie dem russischen Physiker u​nd Luftfahrtpionier Nikolai Jegorowitsch Schukowski.

Mathematisch ist die Zirkulation ${\displaystyle \Gamma }$ das Ergebnis des Linienintegrals ${\displaystyle \Gamma =\oint vds}$. Sobald dieses Integral verschieden von Null ist, ist ein Wirbel vorhanden.

Die Zirkulation beschreibt hier das Maß einer sich um ein Profil drehenden Strömung. Dieser Effekt tritt zum Beispiel an einem umströmten angestellten Tragflügel auf, wenn sich die Stromlinien der Parallelströmung und Zirkulationsströmung überlagern. Dies bewirkt, dass sich an der Oberseite des Tragflügels eine Auftriebskraft ${\displaystyle F_{\mathrm {A} }}$ bildet, die zum Abheben des Tragflügels führt.

Physikalische Voraussetzungen

Die Kutta-Joukowski-Formel gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen über das Strömungsfeld. Es sind dieselben wie für die Blasiusschen Formeln. Das heißt, die Strömung muss stationär, inkompressibel, reibungslos, drehungsfrei und effektiv 2-dimensional sein. D. h. in Richtung der dritten Dimension, beim Tragflügel die Richtung der Spannweite, sollen alle Variationen vernachlässigbar sein. Kräfte in dieser Richtung summieren sich daher auf. Insgesamt sind sie proportional zur Breite ${\displaystyle b}$. Wegen der Drehungsfreiheit verlaufen die Stromlinien vom Unendlichen vor dem Körper bis ins Unendliche hinter dem Körper. Da außerdem Reibungsfreiheit gilt, ist die mechanische Energie erhalten, und es kann die Druckverteilung am Tragflügel nach der Bernoulli-Gleichung bestimmt werden. Aufsummieren der Druckkräfte führt zunächst auf die 1. Blasiussche Formel. Aus dieser kann die Kutta-Joukowski-Formel mit Hilfsmitteln der Funktionentheorie exakt hergeleitet werden.

Mathematische Eigenschaften und Herleitung

Die rechnerischen Vorteile der Kutta-Joukowski-Formel kommen erst bei Formulierung mit komplexen Funktionen zur Geltung[1]. Dann ist die Ebene des Tragflügel-Profils die Gaußsche Zahlenebene, und die lokale Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle v^{*}=v_{x}-\mathrm {i} v_{y}}$ ist eine holomorphe Funktion der Variablen ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$. Es existiert eine Stammfunktion (Potential) ${\displaystyle \Phi (z)}$, so dass

${\displaystyle v^{*}={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} z}}}$

Geht man nun von einem einfachen Strömungsfeld aus (z. B. Strömung um einen Kreiszylinder) und erzeugt man ein neues Strömungsfeld durch konforme Abbildung des Potentials (nicht der Geschwindigkeit) und anschließende Ableitung nach ${\displaystyle z}$, so bleibt die Zirkulation unverändert:

${\displaystyle \Gamma =\oint v^{*}(z)\mathrm {d} z\qquad {\text{invariant unter konformen Transformationen von }}\Phi }$

Dies folgt (heuristisch) daraus, dass die Werte von ${\displaystyle \Phi }$ bei der konformen Transformation lediglich von einem Punkt der Zahlenebene an einen anderen Punkt versetzt werden. Zu beachten ist, dass ${\displaystyle \Phi }$ notwendigerweise eine mehrdeutige Funktion ist, wenn die Zirkulation nicht verschwindet.

Wegen d​er Invarianz lässt s​ich z. B. d​ie Zirkulation u​m ein Joukowski-Profil unmittelbar a​us der Zirkulation u​m ein Kreisprofil gewinnen. Beschränkt m​an sich b​ei den Transformationen a​uf solche, d​ie die Strömungsgeschwindigkeit i​n großen Abständen v​om Tragflügel n​icht verändern (vorgegebene Geschwindigkeit d​es Flugzeugs) s​o folgt a​us der Kutta-Joukowski-Formel, d​ass alle d​urch solche Transformationen auseinander hervorgehenden Profile denselben Auftrieb haben.

Zur Herleitung der Kutta-Joukowski-Formel aus der 1. Blasiusschen Formel[2] muss das Verhalten der Strömungsgeschwindigkeit bei großen Abständen spezifiziert werden: Zusätzlich zur Holomorphie im Endlichen sei ${\displaystyle v^{*}}$ als Funktion von ${\displaystyle w=1/z}$ stetig im Punkt ${\displaystyle w=0}$. Dann lässt sich ${\displaystyle v^{*}}$ in eine Laurent-Reihe entwickeln:

${\displaystyle v^{*}(z)=A_{0}+{\frac {A_{1}}{z}}+{\frac {A_{2}}{z^{2}}}+\cdots }$

Dabei ist offensichtlich ${\displaystyle A_{0}=v_{\infty }}$. Nach dem Residuensatz gilt außerdem

${\displaystyle A_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi \mathrm {i} }}}$

Man s​etzt die Reihe i​n die 1. Blasiussche Formel e​in und multipliziert aus. Wieder ergibt n​ur der Term m​it der ersten negativen Potenz e​inen Beitrag:

${\displaystyle F^{*}=\mathrm {i} {\frac {\rho }{2}}\oint (v^{*})^{2}\mathrm {d} z=\mathrm {i} {\frac {\rho }{2}}\oint {\frac {2A_{0}A_{1}}{z}}\mathrm {d} z=\mathrm {i} \rho v_{\infty }\Gamma }$

Dies ist die Kutta-Joukowski-Formel, und zwar sowohl für die vertikale als auch die horizontale Komponente der Kraft (Auftrieb und Widerstand). Aus dem Vorfaktor ${\displaystyle \mathrm {i} \!\,}$ ergibt sich, dass die Kraft unter den genannten Voraussetzungen (vor allem Reibungsfreiheit) stets senkrecht auf der Anströmungsrichtung steht (sogenanntes d'Alembertsches Paradoxon).

Einzelnachweise

1. Schlichting/Truckenbrodt Abschnitte 2.5 und 6.2
2. Schlichting/Truckenbrodt Abschnitt 6.212

Literatur

• Hermann Schlichting, Erich Truckenbrodt: Aerodynamik des Flugzeuges, Band 1, Springer 1967