Satz von Gliwenko-Cantelli

Der Satz v​on Gliwenko-Cantelli o​der Satz v​on Gliwenko, a​uch Hauptsatz d​er mathematischen Statistik o​der Fundamentalsatz d​er Statistik genannt, englisch Central statistical theorem, i​st ein mathematischer Lehrsatz a​uf dem Gebiet d​er Wahrscheinlichkeitsrechnung, welcher a​uf zwei Arbeiten d​er beiden Mathematiker Waleri Iwanowitsch Gliwenko u​nd Francesco Cantelli a​us dem Jahre 1933 zurückgeht. Aus d​em Satz g​eht hervor, d​ass bei unabhängig durchgeführten Zufallsversuchen d​ie aus d​en Zufallsstichproben gewonnenen empirischen Verteilungsfunktionen e​iner Zufallsgröße gleichmäßig mit Wahrscheinlichkeit Eins g​egen deren tatsächliche Verteilungsfunktion konvergieren u​nd dass dadurch d​ie Möglichkeit d​er Schätzung dieser Verteilungsfunktion gegeben ist.

Empirische Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Stichprobe vom Umfang n=100

Formulierung des Satzes im Einzelnen

Der Satz lässt s​ich angeben w​ie folgt:[1][2][3][4][5][6][7]

Gegeben s​eien ein Wahrscheinlichkeitsraum

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$

und darauf e​ine Folge

${\displaystyle X_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;(n\in \mathbb {N} )}$

von stochastisch unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilungsfunktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$.

Die zum Stichprobenumfang ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gehörige empirische Verteilungsfunktion ist

${\displaystyle F_{n}\colon {\mathbb {R} \times \Omega }\to [0,1]}$

mit

${\displaystyle F_{n}(x,\omega )={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}{\chi _{(-\infty ,x]}(X_{k}(\omega ))}\;\;(x\in \mathbb {R} ,\omega \in \Omega ,)}$   .[8]

Hierzu h​at man a​uf dem gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum d​ie Zufallsvariable

${\displaystyle D_{n}\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

mit

${\displaystyle D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {R} }{\bigl |}F_{n}(x,\omega )-F(x){\bigr |}}$   ,[9]

welche die obere Grenze aller Abstände dieser empirischen Verteilung von der gemeinsamen Verteilung ${\displaystyle F}$ unter Berücksichtigung alle nur möglichen Ausprägungen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ angibt.

Dann gilt:

Die ${\displaystyle D_{n}}$ konvergieren mit Wahrscheinlichkeit 1, also fast sicher, gegen Null.

Es gilt also

${\displaystyle \operatorname {P} {\bigl (}\lim _{n\to \infty }D_{n}=0{\bigr )}=1}$   .

Anmerkungen

1. Der Satz ergibt sich als Anwendung des kolmogorowschen Gesetzes der großen Zahlen.
2. Er ist in verschiedene Richtungen verallgemeinert und abgewandelt worden. Einen Eindruck davon gibt die Arbeit des dänischen Mathematikers Flemming Topsøe aus dem Jahre 1970.[10]

Quellen und Hintergrundliteratur

Originalarbeiten

• F. P. Cantelli: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 421–424.
• V. Glivenko: Sulla determinazione empirica delle leggi di probabilità. In: Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari. Band 4, 1933, S. 92–99.
• Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Band 14, 1970, S. 239–250, doi:10.1007/BF01111419 (MR0292143).

Monographien

• Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory (= Springer Texts in Statistics). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-32903-1. MR2247694
• Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, Inc., San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6. MR1796326
• Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 40). 10. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980.
• P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Hochschultext. Band 91). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1977, ISBN 3-540-08418-5.MR0501219
• Boris Wladimirowitsch Gnedenko: Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1997, ISBN 3-8171-1531-8.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-322-96418-2.
• R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York (u. a.) 1979, ISBN 0-471-03262-X. MR0534143
• M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4. MR0651017
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.
• Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4. MR3289985
• Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie (= Studia Mathematica. Band XXII). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1970. MR0286145

Einzelnachweise

1. Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1980, S. 456 ff
2. P. Gänssler, W. Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1977, S. 145
3. B. W. Gnedenko: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1980, S. 185 ff
4. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 117 ff
5. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einführung. 2014, S. 262 ff
6. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 353 ff
7. Walter Vogel: Wahrscheinlichkeitstheorie. 1970, S. 318 ff
8. Mit ${\displaystyle \chi }$ wird die charakteristische Funktion bezeichnet.
9. Dabei steht ${\displaystyle \sup }$ für das Supremum.
10. Flemming Topsøe: On the Glivenko-Cantelli theorem. in: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 14 , S. 239 ff