Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

Der Satz v​on Clairaut (benannt n​ach Alexis-Claude Clairaut) i​st eine Aussage d​er klassischen Differentialgeometrie.

Aussage

Sei ${\displaystyle S}$ eine Rotationsfläche und ${\displaystyle c:]a,b[\to S}$ mit ${\displaystyle s\mapsto c(s)}$ eine reguläre Kurve auf ${\displaystyle S}$. Es bezeichne ${\displaystyle r(s)}$ den Radius des Breitenkreises durch ${\displaystyle c(s)}$ sowie ${\displaystyle \alpha (s)}$ den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

• Ist ${\displaystyle c}$ eine geodätische Linie, so ist die Funktion ${\displaystyle r\cos \alpha \,}$ längs ${\displaystyle c}$ konstant.
• Ist ${\displaystyle r\cos \alpha \,}$ längs ${\displaystyle c}$ konstant und ${\displaystyle c}$ kein Breitenkreis, so ist ${\displaystyle c}$ eine geodätische Linie.

Beweis

Sei ${\displaystyle (u,v)\rightarrow (r(v)\cos u,r(v)\sin u,h(v))}$ eine Parametrisierung der Fläche ${\displaystyle S}$, wobei wir o. B. d. A. ${\displaystyle v}$ als Bogenlänge der erzeugenden Kurve ${\displaystyle (r(v),h(v))}$ annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

${\displaystyle E(u,v)=(r(v))^{2}}$, ${\displaystyle F(u,v)=0}$, ${\displaystyle G(u,v)=1}$.

Sei ${\displaystyle s\rightarrow {\vec {c}}(s)}$ o. B. d. A. nach der Bogenlänge ${\displaystyle s}$ parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der ${\displaystyle u}$-Linien (Breitenkreise) und ${\displaystyle v}$-Linien (Meridiane):

${\displaystyle \kappa _{g,u}=-{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dv}},\qquad \kappa _{g,v}=0.}$

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve ${\displaystyle {\vec {c}}}$ zu

${\displaystyle \kappa _{g}=-{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dv}}\cos \alpha +{\frac {d\alpha }{ds}}.}$ (1)

Differenzieren der Funktion ${\displaystyle C(s)=r({\vec {c}}(s))\cos \alpha (s)}$ liefert:

${\displaystyle {\frac {dC}{ds}}={\frac {dr}{dv}}{\frac {dv}{ds}}\cos \alpha -r\sin \alpha \cdot {\frac {d\alpha }{ds}}.}$

Mit ${\displaystyle {\frac {dv}{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\sqrt {G}}}}$ folgt aus (1)

${\displaystyle {\frac {dC}{ds}}=-r\sin \alpha \cdot \kappa _{g}}$

und d​amit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung

In d​er Landesvermessung stellt s​ich das Problem, z​u gegebenem Anfangspunkt u​nd -richtung e​ine geodätische Linie z​u berechnen, d​ie sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Halbachsen des Referenzellipsoids und ${\displaystyle e^{2}=(a^{2}-b^{2})/a^{2}}$ das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite ${\displaystyle \phi }$ beträgt

${\displaystyle P(\phi )=N(\phi )\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\cos \phi .}$

Als Azimut bezeichnet m​an den Schnittwinkel d​er Linie m​it der Nordrichtung. Damit f​olgt aus d​em Satz v​on Clairaut d​ie Konstanz von

${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\cos \phi \sin A}$

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite ${\displaystyle \beta }$ gemäß der Formel ${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi }$ ein, so folgt die Konstanz von

${\displaystyle \cos \beta \sin A.}$

Dieser Wert heißt d​ie clairautsche Konstante d​er geodätischen Linie.

Literatur

• Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Band 3. 3rd edition. Publish or Perish Press, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214–216.