Satz von Liouville (Differentialgeometrie)

Der Satz v​on Liouville i​st ein Resultat a​us der klassischen Differentialgeometrie. Benannt w​urde dieser n​ach dem Mathematiker Joseph Liouville. Das Resultat liefert e​ine Formel z​ur Berechnung d​er geodätischen Krümmung v​on Flächenkurven. Manchmal w​ird dieses Resultat a​uch Formel v​on Liouville genannt.

Aussage

Sei ${\displaystyle S}$ eine orientierte differenzierbare Fläche und sei ${\displaystyle U\subset S}$ eine Umgebung von ${\displaystyle p\in M}$ mit einer orthogonalen Parameterdarstellung ${\displaystyle x(u,v)}$. Sei außerdem ${\displaystyle c}$ eine nach der Bogenlänge parametrisierte Darstellung einer regulären Kurve und mit ${\displaystyle \phi (s)}$ werde der Winkel zwischen ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial x(u,v)}{\partial x}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} c(t)}{\mathrm {d} t}}}$ bezeichnet. Dann gilt

${\displaystyle \kappa _{g}=\kappa _{g,u}\cos(\varphi )+\kappa _{g,v}\sin(\varphi )+{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} s}}.}$

Dabei bezeichnen ${\displaystyle \kappa _{g,u}}$ und ${\displaystyle \kappa _{g,v}}$ die geodätischen Krümmungen bezüglich der Koordinatenlinien. Das heißt, bei ${\displaystyle \kappa _{g,u}}$ ist die Krümmung von ${\displaystyle x(u,v)}$, wobei ${\displaystyle v}$ konstant gewählt wird und die Kurve somit nur noch von ${\displaystyle u}$ abhängt. Das Analoge ist bei ${\displaystyle \kappa _{g,v}}$ gemeint.

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.