Satz von Cartan-Dieudonné

Der Satz v​on Cartan-Dieudonné i​st ein n​ach Élie Cartan u​nd Jean Dieudonné benannter Lehrsatz d​er Geometrie.

Er m​acht eine Aussage über d​ie Anzahl d​er Spiegelungen, a​us denen s​ich Drehungen e​ines euklidischen Vektorraumes zusammensetzen lassen.

Aussage

Sei ${\displaystyle A\in O(n)}$ eine orthogonale ${\displaystyle n\times n}$-Matrix. Dann gibt es ${\displaystyle n}$ Spiegelungsmatrizen ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ mit ${\displaystyle A=S_{1}\ldots S_{n}}$.

Allgemeiner ist für eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektorraum über einem Körper der Charakteristik ${\displaystyle char(K)\not =2}$ jedes Element der orthogonalen Gruppe eine Verknüpfung von höchstens ${\displaystyle n}$ Spiegelungen.

Beispiel: n=2

Eine orthogonale Abbildung der Ebene ist eine Spiegelung oder eine Drehung. Eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle \phi }$ lässt sich zerlegen als Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen an Geraden, die den Winkel ${\displaystyle \phi /2}$ einschließen.

Literatur

• E. Cartan, La Théorie des Spineurs I, II. in: Actualités Scientifiques et Industrielles, vols. 643 et 701, Herman, Paris, 1938.
• J. Dieudonné, Sur les Groupes Classiques, 3rd ed., in: Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 1040, Herman, Paris, 1981.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry. Universitext. Springer-Verlag.