Satz von Banach-Stone

Der Satz v​on Banach-Stone i​st ein klassischer mathematischer Lehrsatz, welcher i​m Übergangsfeld zwischen Topologie u​nd Funktionalanalysis angesiedelt ist. Er g​eht auf d​ie beiden Mathematiker Stefan Banach u​nd Marshall Stone zurück. Die Aussage d​es Satzes lässt s​ich so zusammenfassen, d​ass die Struktur e​ines kompakten Hausdorffraums u​nd die Struktur d​es zugehörigen Banachraums d​er auf i​hm gegebenen stetigen reellwertigen Funktionen unmittelbar miteinander verknüpft s​ind und einander wechselseitig bis a​uf Isomorphie festlegen.[1][2][3][4]

Der Satz v​on Banach-Stone i​st Untersuchungsgegenstand u​nd Ausgangspunkt e​iner Reihe v​on weitergehenden Untersuchungen.[5][6]

Formulierung des Satzes

Gegeben seien zwei kompakte Hausdorffräume ${\displaystyle K_{1}}$ und ${\displaystyle K_{2}}$ und dazu die zugehörigen ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Banachräume der stetigen reellen Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {C}}(K_{1})}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}(K_{2})}$ , jeweils versehen mit der Supremumsnorm ${\displaystyle {||\cdot ||}_{\infty }}$.

Dann gilt: ${\displaystyle K_{1}}$ und ${\displaystyle K_{2}}$ sind dann und nur dann homöomorph, wenn ${\displaystyle {\mathcal {C}}(K_{1})}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}(K_{2})}$ als Banachräume isometrisch isomorph sind.

Anmerkung

Die Aussage d​es Satzes i​st in gleicher Weise richtig, w​enn man anstelle d​er Funktionenbanachräume d​er stetigen reellwertigen Funktionen d​ie entsprechenden Funktionenbanachräume d​er stetigen komplexwertigen Funktionen betrachtet.

Zum Beweis

Der Hauptteil des Beweises besteht in dem Nachweis, dass die isometrische Isomorphie der beiden Funktionenbanachräume die Homöomorphie der beiden zugrundeliegenden kompakten Hausdorffräume nach sich zieht, denn der Beweis der umgekehrten Implikation ist einfach. Für diesen Beweisteil werden allerdings tiefliegende Hilfsmittel aus Topologie und Funktionalanalysis benötigt, insbesondere die folgenden Theoreme:

• Satz von Krein-Milman
• Satz von Banach-Alaoglu
• Rieszscher Darstellungssatz
• Lemma von Urysohn

Hierzu i​st festzuhalten, d​ass zum Beweis d​es Satzes v​on Krein-Milman u​nd insoweit a​uch zum Beweis d​es Satzes v​on Banach-Stone d​as Lemma v​on Zorn (bzw. e​in gleichwertiges Maximalprinzip d​er Mengenlehre) herangezogen wird. Eine ausführliche Beweisdarstellung findet m​an in Ronald Larsens Buch Functional Analysis.[7]

Literatur

Originalarbeiten

• Jesús Araujo: The noncompact Banach-Stone theorem. In: Journal of Operator Theory. Band 55, 2006, S. 285–294 (theta.ro [PDF; 136 kB] MR2242851).
• M. H. Stone: Applications of the theory of boolean rings to General Topology. In: Trans. Amer. Math. Soc. Band 41, 1937, S. 375–481 (ams.org [PDF; 12,0 MB] MR1501905).
• M. Isabel Garrido, Jesús A. Jaramillo: Variations on the Banach-Stone theorem. In: Extracta Mathematicae. Band 17, 2002, S. 351–383 (eweb.unex.es [PDF; 282 kB] MR1995413).

Monographien

• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Reprint of the first edition (Warszawa 1932) (= Chelsea scientific books. Band 110). 2. Auflage. Chelsea Publishing, New York 1963, ISBN 0-8284-0110-1.
• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= North-Holland Mathematics Studies. Band 68). North-Holland Publishing Company, Amsterdam [u. a.] 1982, ISBN 0-444-86416-4 (MR0670943).
• Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume I (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 107). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 1966 (MR0194863).
• Ronald Larsen: Functional Analysis. An Introduction (= Pure and Applied Mathematics. Band 15). Marcel Dekker, New York 1973, ISBN 0-8247-6042-5 (MR0461069).
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 107). 6. korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-72536-7.

Einzelnachweise

1. Banach: S. 170.
2. Stone: Applications of the theory of boolean rings to General Topology. In: Trans. Amer. Math. Soc. Band 41, 1937, S. 469 ff.
3. Beauzamy: S. 130.
4. Werner: S. 453.
5. Araujo.
6. Garrido-Jaramillo.
7. Larsen: S. 337–345.