Satz vom abgeschlossenen Graphen

Der Satz v​om abgeschlossenen Graphen i​st ein mathematischer Satz a​us der Funktionalanalysis.

Formulierung

Es seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume und ${\displaystyle A\colon X\rightarrow Y}$ ein linearer Operator. Es bezeichne ${\displaystyle \Gamma (A):=\{(x,Ax)\mid x\in X\}}$ den Graphen von ${\displaystyle A}$.

Dann ist ${\displaystyle A}$ genau dann beschränkt (und somit stetig), wenn ${\displaystyle A}$ ein abgeschlossener Operator ist (d. h. ${\displaystyle \Gamma \left(A\right)}$ abgeschlossen in ${\displaystyle X\times Y}$).

Herleitung

Der Satz v​om abgeschlossenen Graphen k​ann auf d​as Lemma v​on Zabreiko zurückgeführt werden.

Ferner kann der Satz wie folgt aus dem Satz von der offenen Abbildung hergeleitet werden. Wegen der Abgeschlossenheit des Graphen ist ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ein Banachraum. Trivialerweise ist ${\displaystyle (x,Ax)\mapsto x}$ eine bijektive, lineare, beschränkte Abbildung zwischen ${\displaystyle \Gamma (A)}$ und ${\displaystyle X}$. Aus dem Satz von der offenen Abbildung folgt dann, dass die Umkehrung ${\displaystyle x\mapsto (x,Ax)}$ ebenfalls beschränkt ist, und das impliziert die Stetigkeit von ${\displaystyle A}$.

Verallgemeinerung

Der Satz v​om abgeschlossenen Graphen k​ann in d​er Theorie lokalkonvexer Räume a​uf größere Raumklassen ausgedehnt werden, s​iehe dazu Raum m​it Gewebe, ultrabornologischer Raum o​der (LF)-Raum.

Anwendung

Der Satz v​on Hellinger-Toeplitz i​st eine Folgerung d​es Satzes v​om abgeschlossenen Graphen.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6