Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz v​on Hellinger-Toeplitz i​st ein mathematischer Satz a​us der Funktionalanalysis. Er i​st nach d​en Mathematikern Ernst Hellinger u​nd Otto Toeplitz benannt.

Formulierung

Es seien ${\displaystyle H}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle T:H\rightarrow H}$ ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle ${\displaystyle x,\,y\in H}$ die Gleichung

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle }$

erfüllt. Dann ist ${\displaystyle T}$ stetig.

Beweis

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Nullfolge und ${\displaystyle Tx_{n}}$ konvergent, dann ist ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}=0}$.
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf ${\displaystyle H}$ und setzt ${\displaystyle y:=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}}$, dann folgt

${\displaystyle \langle y,y\rangle =\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle =\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle =\langle 0,Ty\rangle =0,}$

also ${\displaystyle y=0}$.

Folgerungen

• Da der Operator ${\displaystyle T}$ linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
• Jeder symmetrische, überall auf ${\displaystyle H}$ definierte Operator ist selbstadjungiert.
• Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung

Man k​ann die Bedingung i​m Satz v​on Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien ${\displaystyle H_{1}}$ und ${\displaystyle H_{2}}$ Hilberträume und ${\displaystyle T:H_{1}\rightarrow H_{2}}$ ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator ${\displaystyle S:H_{2}\rightarrow H_{1}}$, der für alle ${\displaystyle x\in H_{1}}$ und ${\displaystyle y\in H_{2}}$ die Gleichung

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{H_{2}}=\langle x,Sy\rangle _{H_{1}}}$

erfüllt. Dann sind ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle S}$ stetig.

Der Beweis g​eht analog.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)