Satz von der offenen Abbildung (Funktionalanalysis)

Der Satz von der offenen Abbildung, auch als Satz von Banach-Schauder bekannt, ist ein grundlegender Satz aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Der Satz ist eine Folgerung aus dem Satz von Baire und wurde 1929 von Stefan Banach und Juliusz Schauder bewiesen.[1]

Aussage

Eine Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt offen, w​enn das Bild j​eder offenen Menge o​ffen ist.

Die Aussage d​es Satzes ist:

Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume, so gilt für jede stetige lineare Abbildung ${\displaystyle T}$ zwischen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$:
${\displaystyle T}$ ist surjektiv genau dann, wenn ${\displaystyle T}$ offen ist.

Man sieht leicht, dass eine offene lineare Abbildung surjektiv sein muss, da kein echter Unterraum von ${\displaystyle Y}$ offen ist; der Gehalt des Satzes liegt also in der Aussage, dass jede surjektive stetige lineare Abbildung offen ist. Der Beweis benötigt sowohl die Vollständigkeit von ${\displaystyle X}$, als auch die von ${\displaystyle Y}$.

Satz vom stetigen Inversen

Unmittelbar a​us der Definition v​on Stetigkeit f​olgt als Korollar:

Ist ${\displaystyle T}$ eine stetige lineare Bijektion zwischen zwei Banachräumen, dann ist die inverse Abbildung stetig.

Diese Aussage i​st als Satz v​on der inversen Abbildung o​der Satz v​om stetigen Inversen bekannt. Sie lässt s​ich auch s​o formulieren:

Sei ${\displaystyle T}$ ein stetiger linearer Operator zwischen zwei Banachräumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$. Ist die Gleichung ${\displaystyle Tx=b}$ für jedes ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle Y}$ eindeutig lösbar, so hängt die Lösung ${\displaystyle x}$ stetig von ${\displaystyle b}$ ab.

Verallgemeinerung

Der Satz über d​ie offene Abbildung k​ann in d​er Theorie lokalkonvexer Räume a​uf größere Raumklassen ausgedehnt werden, s​iehe dazu Raum m​it Gewebe, ultrabornologischer Raum o​der (LF)-Raum.

Einzelnachweise

1. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis : Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München/Wien 2002, ISBN 3-486-24914-2.

Literatur

• Gert K. Pedersen: Analysis Now (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag, Berlin (u. a) 1988, ISBN 3-540-96788-5.

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.