Lemma von Zabreiko

Das Lemma v​on Zabreiko, benannt n​ach Petr Petrovich Zabreiko (russisch Петр Петрович Забрейко), i​st eine Aussage a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis. Es stammt a​us dem Jahre 1969[1][2] u​nd ist e​ine Stetigkeitsaussage über gewisse subadditive Funktionale a​uf Banachräumen.

Formulierung des Lemmas

Es seien ${\displaystyle X}$ ein Banachraum und ${\displaystyle p:X\rightarrow [0,\infty )}$ ein Funktional mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle \lim _{t\searrow 0}p(tx)=0}$   für alle   ${\displaystyle x\in X}$,
• ${\displaystyle p(\sum _{n=0}^{\infty }x_{n})\leq \sum _{n=0}^{\infty }p(x_{n})}$   für jede konvergente Reihe  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ in ${\displaystyle X}$.

Dann ist ${\displaystyle p}$ stetig.[3][4]

Bemerkungen

Aus der ersten Eigenschaft folgt insbesondere ${\displaystyle p(0)=0}$ und dann aus der zweiten die Subadditivität

${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in X}$,

indem man die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ mit ${\displaystyle x_{0}=x}$, ${\displaystyle x_{1}=y}$ und ${\displaystyle x_{n}=0}$ für alle ${\displaystyle n>1}$ betrachtet.

Der Beweis benutzt d​ie Vollständigkeit d​es Banachraums i​n Gestalt d​es Satzes v​on Baire. Für nicht-vollständige normierte Räume k​ann das Lemma v​on Zabreiko n​icht bewiesen werden.

Die Bedeutung d​es Lemmas ergibt s​ich daraus, d​ass die sogenannten d​rei Prinzipien d​er Funktionalanalysis, d​as sind d​er Satz v​on der gleichmäßigen Beschränktheit, d​er Satz v​on der offenen Abbildung u​nd der Satz v​om abgeschlossenen Graphen, d​ie klassisch a​lle auf d​em Satz v​on Baire beruhen, leicht a​uf das Lemma v​on Zabreiko zurückgeführt werden können, o​hne den Satz v​on Baire erneut i​ns Spiel bringen z​u müssen. Dieser Aufbau d​er Funktionalanalysis i​st in d​en angegebenen Lehrbüchern v​on V. I. Istrățescu u​nd R. E. Megginson ausgeführt.

Anwendung

Wir zeigen h​ier exemplarisch, w​ie der Satz v​om abgeschlossenen Graphen a​us dem Lemma v​on Zabreiko hergeleitet werden kann[5]:

Es sei ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ ein linearer Operator zwischen Banachräumen, sein Graph sei abgeschlossen. Wir wollen die Stetigkeit von ${\displaystyle T}$ zeigen:

Betrachte dazu das Funktional ${\displaystyle p:X\rightarrow \mathbb {R} ,\,p(x):=\|Tx\|}$. Offenbar genügt es, die Stetigkeit von ${\displaystyle p}$ zu zeigen und das wollen wir mit dem Lemma von Zabreiko tun. ${\displaystyle p}$ erfüllt offenbar die erste Bedingung aus dem Lemma von Zabreiko. Zum Nachweis der zweiten Bedingung sei ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}=x}$ konvergent in ${\displaystyle X}$. Es ist ${\displaystyle \|T(\sum _{n=0}^{\infty }x_{n})\|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\|T(x_{n})\|}$ zu zeigen, was klar ist, wenn die rechte Seite unendlich ist. Wenn die rechte Seite endlich ist, liegt absolute Konvergenz vor und wegen der Vollständigkeit von ${\displaystyle Y}$ gibt es ein ${\displaystyle y\in Y}$ mit ${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }T(x_{n})}$. Dann ist ${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}x_{n}\,{\xrightarrow {m}}\,x}$ und ${\displaystyle T(\sum _{n=0}^{m}x_{n})=\sum _{n=0}^{m}T(x_{n})\,{\xrightarrow {m}}\,y}$, so dass wegen der vorausgesetzten Abgeschlossenheit des Graphen ${\displaystyle (x,y)}$ im Graphen von ${\displaystyle T}$ liegt und das bedeutet ${\displaystyle Tx=y}$. Also ist

${\displaystyle p(\sum _{n=0}^{\infty }x_{n})=\|T(x)\|=\|y\|=\|\sum _{n=0}^{\infty }T(x_{n})\|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\|T(x_{n})\|=\sum _{n=0}^{\infty }p(x_{n})}$.

Damit kann das Lemma von Zabreiko angewendet werden, denn ${\displaystyle X}$ ist ebenfalls Banachraum, und es folgt die Stetigkeit von ${\displaystyle p}$. Das beendet die Herleitung des Satzes vom abgeschlossenen Graphen.

Einzelnachweise

1. П. П. Забрейко: Об одной теореме для полуаддитивных функционалов, Функциональный анализ и его приложения, (1969), Band 3, Nummer 1 (1969), Seiten 86–88 (Deutsch: P. P. Sabreiko: Über einen Satz für halbaddiditve Funktionale)
2. P. P. Zabreiko: A theorem for semiadditive functionals, Functional analysis and its applications (1969), Band 3, Nummer 1, Seiten 70–72
3. Vasile I. Istrățescu: Strict convexity and complex strict convexity, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Band 89, Marcel Dekker (1984), ISBN 0-8247-1796-1
4. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, 1.6.3: Zabreiko's Lemma, (hier nur für homogene Funktionale)
5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Beweis zu 1.6.11: The Closed Graph Theorem