Rotationsparaboloid

Ein Rotationsparaboloid ist in der Mathematik eine Rotationsfläche, die durch Rotation einer Parabel um ihre Symmetrieachse entsteht.

Eine rotierte Parabel ergibt einen Rotationsparaboloid

Beispiele aus dem täglichen Leben sind Reflektoren von Scheinwerfern oder Parabolspiegel der Astronomie.

Wenn man eine Flüssigkeit gleichmäßig um eine senkrechte Achse dreht, überlagern sich Schwerkraft und Fliehkraft, und die Flüssigkeitsoberfläche nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. So funktioniert das Quecksilber-Teleskop. Auf diese Weise kann man auch Parabolspiegel für Spiegelteleskope gießen, um danach nicht so viel Material abschleifen zu müssen, da die beim Guss erhaltene Oberfläche bereits ein Rotationsparaboloid darstellt.

Das Rotationsparaboloid ist der rotationssymmetrische Spezialfall des elliptischen Paraboloids.

Mathematische Darstellung

Die Formeln gelten für ein Rotationsparaboloid, das von einer zur z-Achse senkrechten Ebene in der Höhe ${\displaystyle h}$ abgeschnitten wird und dort den Radius ${\displaystyle r}$ hat.

Gleichung

${\displaystyle z={\frac {h}{r^{2}}}(x^{2}+y^{2})\ ,0\leq z\leq h\ }$

Brennpunkt (siehe Parabel)

${\displaystyle \left(0,0,{\frac {r^{2}}{4h}}\right)}$

Volumen

${\displaystyle V={\frac {\pi }{2}}\cdot r^{2}\cdot h}$

Oberfläche (ohne Deckkreisfläche)

${\displaystyle A_{O}={\frac {\pi r}{6h^{2}}}\cdot \left[\left(r^{2}+4h^{2}\right)^{\frac {3}{2}}-r^{3}\right]}$

Höhe des Schwerpunkts

${\displaystyle h_{S}={\frac {2}{3}}\cdot h}$