Reflexionsprinzip (Stochastik)

Das Reflexionsprinzip,[1] a​uch Spiegelungsprinzip[2] o​der Reflektionsprinzip[3] genannt, i​st eine Aussage über Irrfahrten a​us der Theorie d​er stochastischen Prozesse u​nd somit d​er Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Das Reflexionsprinzip i​st eine Folgerung a​us der starken Markow-Eigenschaft u​nd wird i​n unterschiedlichen Versionen formuliert, u​nter anderem für d​en Wiener-Prozess. Anschaulich liefert d​as Reflexionsprinzip e​ine Abschätzung für d​ie Wahrscheinlichkeit, d​ass ein stochastischer Prozess v​or einem gewissen Zeitpunkt e​inen vorgegebenen Schwellenwert bereits einmal überschritten hat.

Reflexionsprinzip für die symmetrische Irrfahrt

Gegeben sei eine Folge von unabhängig identisch verteilten sowie symmetrischen und reellwertigen Zufallsvariablen.

Sei und

Dann gilt für alle und alle

Nehmen die fast sicher Werte aus an, so gilt für alle in der obigen Ungleichung Gleichheit.[4]

Reflexionsprinzip aus kombinatorischer Sicht

Wir betrachten Wege im die durch die geradlinige Verbindung von Punkten

mit

entstehen. Für ist die Anzahl der Wege von nach gegeben durch

.

Das Spiegelungsprinzip g​ibt nun folgende Aussage:

Satz

Sei . Bezeichne die Anzahl der Wege von nach welche die Gerade schneiden oder berühren. Dann gilt:

Beweis

Sei . Spiegeln wir nun den verbliebenen Wegteil von bis an der Geraden , so erhalten wir einen neuen Weg von nach . Auch dieser Weg berührt oder schneidet die Gerade . Auf diese Weise können die Wege bijektiv aufeinander abgebildet werden und die Behauptung folgt.

Reflexionsprinzip für den Wiener-Prozess

Sei ein Wiener-Prozess sowie und . Dann gilt[5][6]

.

Über d​ie Dichte d​er Normalverteilung erhält m​an die weitere Abschätzung

.

Literatur

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise

  1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 363.
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 520.
  3. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 364.
  4. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 363.
  5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 480.
  6. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 366.
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