Reflexionsprinzip (Stochastik)

Das Reflexionsprinzip,[1] a​uch Spiegelungsprinzip[2] o​der Reflektionsprinzip[3] genannt, i​st eine Aussage über Irrfahrten a​us der Theorie d​er stochastischen Prozesse u​nd somit d​er Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Das Reflexionsprinzip i​st eine Folgerung a​us der starken Markow-Eigenschaft u​nd wird i​n unterschiedlichen Versionen formuliert, u​nter anderem für d​en Wiener-Prozess. Anschaulich liefert d​as Reflexionsprinzip e​ine Abschätzung für d​ie Wahrscheinlichkeit, d​ass ein stochastischer Prozess v​or einem gewissen Zeitpunkt e​inen vorgegebenen Schwellenwert bereits einmal überschritten hat.

Reflexionsprinzip für die symmetrische Irrfahrt

Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle (Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von unabhängig identisch verteilten sowie symmetrischen und reellwertigen Zufallsvariablen.

Sei ${\displaystyle X_{0}:=0}$ und

${\displaystyle X_{n}:=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}}$

Dann gilt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und alle ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle P\left(\sup _{m\leq n}X_{m}\geq r\right)\leq 2P(X_{n}\geq r)-P(X_{n}=r)}$

Nehmen die ${\displaystyle Y_{i}}$ fast sicher Werte aus ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ an, so gilt für alle ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ in der obigen Ungleichung Gleichheit.[4]

Reflexionsprinzip aus kombinatorischer Sicht

Wir betrachten Wege im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ die durch die geradlinige Verbindung von ${\displaystyle n+1}$ Punkten

${\displaystyle (0,s_{o}),\dots ,(n,s_{n})\in \mathbb {Z} ^{2}}$ mit ${\displaystyle s_{0}=0}$

entstehen. Für ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$ ist die Anzahl der Wege von ${\displaystyle (0,0)}$ nach ${\displaystyle (n,r)}$ gegeben durch

${\displaystyle b_{n,r}={\binom {n}{\tfrac {n+r}{2}}}}$.

Das Spiegelungsprinzip g​ibt nun folgende Aussage:

Satz

Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {(} N),k,r\in \mathbb {Z} }$. Bezeichne ${\displaystyle a_{n,k,r}}$ die Anzahl der Wege von ${\displaystyle (0,0)}$ nach ${\displaystyle (n,k)}$ welche die Gerade ${\displaystyle y=r}$ schneiden oder berühren. Dann gilt:

${\displaystyle a_{n,k,r}=a_{n,-k,-r}=b_{n,2r-k}}$

Beweis

Sei ${\displaystyle t_{r}=\min \limits _{j\in \{0,\dots ,n\}}\{s_{j}=r\}}$. Spiegeln wir nun den verbliebenen Wegteil von ${\displaystyle (t_{r},n)}$ bis ${\displaystyle (n,k)}$ an der Geraden ${\displaystyle y=r}$, so erhalten wir einen neuen Weg von ${\displaystyle (0,0)}$ nach ${\displaystyle (n,2r-k)}$. Auch dieser Weg berührt oder schneidet die Gerade ${\displaystyle y=r}$. Auf diese Weise können die Wege bijektiv aufeinander abgebildet werden und die Behauptung folgt.

Reflexionsprinzip für den Wiener-Prozess

Sei ${\displaystyle (W_{t})_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$ ein Wiener-Prozess sowie ${\displaystyle T>0}$ und ${\displaystyle r>0}$. Dann gilt[5][6]

${\displaystyle P(\sup\{B_{t}\,|\,t\in [0,T]\}>r)=2P(B_{T}>r)=P(|B_{T}|>r)}$.

Über d​ie Dichte d​er Normalverteilung erhält m​an die weitere Abschätzung

${\displaystyle P(|B_{T}|>r)\leq {\sqrt {\frac {4T}{2\pi r^{2}}}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{2T}}\right)}$.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise

1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 363.
2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 520.
3. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 364.
4. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 363.
5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 480.
6. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 366.