Satz von Švarc-Milnor

Der Satz v​on Švarc-Milnor (in anderen Transkriptionen a​uch Satz v​on Schwartz-Milnor o​der Satz v​on Schwarz-Milnor) i​st ein mathematischer Satz a​us dem Gebiet d​er geometrischen Gruppentheorie. Er w​urde nach d​en Mathematikern Albert S. Švarc u​nd John W. Milnor benannt.

Aussage

Sei ${\displaystyle X}$ ein geodätischer metrischer Raum, in dem abgeschlossene Kugeln mit endlichem Radius kompakt sind. Die topologische Gruppe ${\displaystyle G}$ operiere kokompakt auf ${\displaystyle X}$ und für alle kompakten Mengen ${\displaystyle K\subset X}$ sei die Menge ${\displaystyle \{g\in G\mid gK\cap K\neq \emptyset \}}$ endlich.

Dann ist ${\displaystyle G}$ endlich erzeugt und für jedes ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ist die Abbildung ${\displaystyle G\to X,g\mapsto g.x_{0}}$ eine Quasi-Isometrie bzgl. der zu einem (beliebigen) endlichen Erzeugendensystem definierten Wortmetrik.

Beispiele

• Die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen ist quasi-isometrisch zur reellen Zahlengerade ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ist quasi-isometrisch zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}X}$ eines kompakten metrischen Raumes ${\displaystyle X}$ ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {X}}}$ (falls diese existiert).

Literatur

• V.A. Efremovič: On the proximity geometry of Riemannian manifolds, Uspekhi Math Nauk, 8:189 (1953).
• A.S. Švarc: A volume invariant of covering, Dokl. Akad. Nauka SSSR (N.S.), 105 (1955), 32–34.
• J.W. Milnor: A note on curvature and fundamental group, J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7. online

Weblinks

• The Svarc-Milnor Lemma