Punktprobe

Bei d​er Punktprobe w​ird rechnerisch entschieden, o​b ein Punkt i​n einer gegebenen Punktmenge liegt, a​lso ob Inzidenz vorliegt. Dabei s​ind verschiedene Punktmengen möglich:

Liegt e​in Punkt

• auf einem Funktionsgraphen in einem x-y-Koordinatensystem?
• auf einer Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem?
• auf einer Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem?

Verfahren

Eine Punktprobe w​ird durchgeführt, i​ndem man d​ie Koordinaten d​es Punktes i​n die Gleichung d​er Punktmenge einsetzt. Erfüllt d​er Punkt d​ie Gleichung, d. h. entsteht e​ine wahre Aussage, s​o liegt d​er Punkt i​n der Punktmenge. Entsteht e​ine falsche Aussage, s​o liegt d​er Punkt n​icht in d​er Punktmenge.

Somit i​st es möglich, a​m Ende e​iner Rechnung z​u überprüfen, o​b z. B. e​in berechneter Schnittpunkt zweier Geraden tatsächlich a​uf beiden Geraden liegt.

Beispiele

Lineare Funktion

Liegt der Punkt ${\displaystyle P(4|7)}$ auf der Geraden ${\displaystyle g}$ mit der Funktionsgleichung ${\displaystyle y=2x-5}$ ?

Für ${\displaystyle x}$ setzt man die x-Koordinate des Punktes P ein, also 4, für ${\displaystyle y}$ die y-Koordinate des Punktes P, also 7, und erhält die Gleichung: ${\displaystyle 7=2\cdot 4-5}$. Dies ist keine wahre Aussage, somit liegt der Punkt P nicht auf dem Graphen der Geraden g, also kurz ${\displaystyle P\notin g}$. Aus dieser Punktprobe lässt sich noch mehr schließen: Vergleicht man die y-Koordinate von P, also 7, mit der y-Koordinate des Punktes auf der Geraden an der Stelle x = 2, nämlich 3, dann gilt: ${\displaystyle 7>3}$. Und daraus folgt: Der Punkt P liegt oberhalb des Graphen der Geraden g in der von den Koordinatenachsen aufgespannten x-y-Ebene.

Geradengleichung in Parameterform

Liegt der Punkt ${\displaystyle Q(8|3|5)}$ auf der Geraden h mit der Parametergleichung ${\displaystyle h:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}+\lambda \cdot {\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R} }$ ?

Für den Vektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ setzt man den Ortsvektor des Punktes Q, ${\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\3\\5\end{pmatrix}}}$, ein und löst zeilenweise, also für jede der drei Koordinaten einzeln, nach dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$ auf. Für die erste Koordinate (1. Zeile) erhält man die Gleichung ${\displaystyle 8=2+3\cdot \lambda }$, also ${\displaystyle \lambda =2}$. Da für die 2. Koordinate (zweite Zeile) aus der Gleichung ${\displaystyle 3=0-\lambda }$ aber ${\displaystyle \lambda =-3}$ folgt, gibt es einen Widerspruch. Da es also keine reelle Zahl ${\displaystyle \lambda }$ gibt, die alle 3 Koordinatengleichungen (Zeilengleichungen) gleichzeitig in drei wahre Aussagen überführt, liegt der Punkt Q nicht auf der Geraden h, kurz ${\displaystyle Q\notin h}$.

Ebenengleichung in Koordinatenform

Liegt der Punkt ${\displaystyle R(2|1|11)}$ auf der Ebene mit der Koordinatengleichung ${\displaystyle {E:\ 3x_{1}+7x_{2}-x_{3}=2}}$ ?

Für ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ und ${\displaystyle x_{3}}$ setzt man die entsprechenden Koordinaten des Punktes ${\displaystyle R}$ ein. ${\displaystyle {\ 3\cdot 2+7\cdot 1-11=2}}$. Dies ist eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt ${\displaystyle R}$ in der Ebene ${\displaystyle E}$, kurz ${\displaystyle R\in E}$.

Weitere Anwendungen

Geradengleichung in Punktsteigungsform

Die Punktprobe kann auch dazu verwendet werden, eine Geradengleichung zu bestimmen, wenn ein Punkt ${\displaystyle P(x_{1}|y_{1})}$ der Gerade ${\displaystyle g}$ und deren Steigung ${\displaystyle m}$ bekannt sind. Ansatz für die Geradengleichung: ${\displaystyle y=m\cdot x+c}$ mit ${\displaystyle m,c\in \mathbb {R} }$.

Der y-Achsenabschnitt ${\displaystyle c}$ wird nun bestimmt, indem man die „Punktprobe“ für den Punkt ${\displaystyle P}$ durchführt und die Geradengleichung nach ${\displaystyle c}$ auflöst. Man erhält: ${\displaystyle c=y_{1}-m\cdot x_{1}}$. Die Geradengleichung für die Gerade g lautet dann: ${\displaystyle y=m\cdot x+y_{1}-m\cdot x_{1}\Leftrightarrow y=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$. Dies ist die Punktsteigungsform.

Bestimmung der Parameter einer ganz-rationalen Funktion 2. Grades

Die Punktprobe kann, so drei Punkte ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ gegeben sind, zur Bestimmung einer quadratischen Gleichung bzw. eines Funktionsterms ${\displaystyle f}$ verwendet werden, der als Schaubild eine Parabel besitzt. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift einer ganz-rationalen Funktion 2. Grades lautet:

${\displaystyle f:x\mapsto f(x)=ax^{2}+bx+c}$ mit ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

Nun führt man die Punktprobe für jeden der Punkte ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ durch und erhält ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den Variablen a, b und c. Nach Auflösung dieses Gleichungssystem nach den drei Variablen kann man den Funktionsterm der Funktion ${\displaystyle f}$ aufstellen, der nach jeweils einer Punktprobe für die Koordinaten von ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ in wahre Aussagen übergeht.

Auswerten von Messreihen

Gegeben seien ${\displaystyle n}$ Messwerte. Gesucht ist ein Modell, in dem der funktionale Zusammenhang der Messwerte am besten dargestellt wird. ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle k\leq n}$) Messwerte werden benötigt, um über ein Gleichungssystem mit ${\displaystyle k}$ Gleichungen die Modellparameter zu berechnen. Mit den restlichen ${\displaystyle n-k}$ quasi überzähligen Messwerten kann man dann durch entsprechend viele Punktproben und deren Auswertung die Güte der Approximation der Daten in diesem Modell untersuchen.[1]

Einzelnachweise

1. Helmut Wirths: Lebendiger Mathematikunterricht, 2019, Norderstedt, BoD, ISBN 978-3-739 243 139, Kapitel 12 und 13.