Punktsteigungsform

Die Punktsteigungsform o​der Punkt-Steigungs-Form i​st in d​er Mathematik e​ine spezielle Form e​iner Geradengleichung. In d​er Punktsteigungsform w​ird eine Gerade i​n der euklidischen Ebene m​it Hilfe e​ines Punkts d​er Gerade u​nd der Steigung d​er Gerade dargestellt.

Darstellung

Punktsteigungsform einer Geradengleichung

In der Punktsteigungsform wird eine Gerade in der Ebene, die durch den Punkt ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ verläuft und die Steigung ${\displaystyle m}$ aufweist, als die Menge derjenigen Punkte ${\displaystyle (x,y)}$ beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung

${\displaystyle y-y_{1}=m\cdot (x-x_{1})}$

erfüllen. Wird die Geradengleichung nach ${\displaystyle y}$ aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

${\displaystyle y=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$.

Die Gerade ist dann der Graph der Funktion ${\displaystyle f}$ mit der Funktionsgleichung

${\displaystyle f(x)=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$.

Beispiel

Im Bild nebenstehend ist beispielsweise der gegebene Geradenpunkt ${\displaystyle (2,2)}$ und die Steigung ${\displaystyle m=-{\tfrac {1}{2}}}$, und man erhält als Geradengleichung

${\displaystyle y-2=-{\tfrac {1}{2}}\cdot (x-2)}$

beziehungsweise

${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{2}}\cdot (x-2)+2}$.

Herleitung

Geht m​an von d​er allgemeinen Form e​iner Geraden

${\displaystyle y=m\cdot x+n}$

aus, dann gilt insbesondere, da der Punkt ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ auf der Geraden liegt,

${\displaystyle y_{1}=m\cdot x_{1}+n}$.

Wird diese Gleichung nach ${\displaystyle n}$ aufgelöst und in die allgemeine Form eingesetzt, folgt daraus

${\displaystyle y=m\cdot x+(y_{1}-m\cdot x_{1})}$.

Durch Ausklammern von ${\displaystyle m}$ erhält man dann die Punktsteigungsform

${\displaystyle y=m\cdot (x-x_{1})+y_{1}}$.

Umrechnung

Wird ${\displaystyle m}$ mit Hilfe des Steigungsdreiecks durch den Punkt ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ und einen weiteren Geradenpunkt ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ mittels

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

berechnet, erhält m​an die Zweipunkteform e​iner Geradengleichung.

Literatur

• Frank Paech: Mathematik – anschaulich und unterhaltsam. Carl Hanser Verlag, 2012, ISBN 978-3-446-42874-4.
• Karl-Heinz Pfeffer: Analysis für Technische Oberschulen. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9646-9.