Pseudonorm

Eine Pseudonorm i​st in d​er Algebra e​ine abgeschwächte Variante e​iner Norm, b​ei der d​ie Eigenschaft d​er Homogenität z​ur Subhomogenität abgeschwächt wird. So w​ie die Norm a​ls eine Verallgemeinerung e​ines Betrages i​ns Mehrdimensionale angesehen werden kann, verhält s​ich die Pseudonorm z​u einem Pseudobetrag, b​ei dem i​m Gegensatz z​um Betrag d​ie Bedingung d​er Multiplikativität z​ur Submultiplikativität abgeschwächt wird.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-(Links-)Modul über einem unitären Ring ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$ mit Pseudobetrag. Eine Abbildung ${\displaystyle \|\cdot \|\colon M\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt eine Pseudonorm, wenn für alle ${\displaystyle a,b\in M}$ und ${\displaystyle \lambda \in R}$ folgende Eigenschaften gelten:[1]

(1) ${\displaystyle \|a\|=0\;\Leftrightarrow \;a=0}$ (Definitheit)

(2) ${\displaystyle \|\lambda a\|\leq |\lambda |\cdot \|a\|}$ (Subhomogenität)

(3) ${\displaystyle \|a+b\|\leq \|a\|+\|b\|}$ (Dreiecksungleichung).

Wird (2) verschärft zu

(2a) ${\displaystyle \|\lambda a\|=|\lambda |\cdot \|a\|}$ (Homogenität),

so heißt ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine Norm.

Die Begrifflichkeit i​st in d​er Literatur n​icht eindeutig; b​ei manchen Autoren w​ird der Pseudobetrag a​uch bereits a​ls Pseudonorm bezeichnet.[2][3]

Eigenschaften

• Ist die Pseudonorm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ sogar eine Norm auf ${\displaystyle M}$, so ist notwendigerweise der zugehörige Pseudobetrag ${\displaystyle |\cdot |}$ ein Betrag auf ${\displaystyle R}$.

p-Pseudonormen

Definition

Ist ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$ ein unitärer Ring mit Pseudobetrag, so wird auf dem ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle R^{n}}$ durch

${\displaystyle \|v\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|v_{i}|^{p}}}}$

für jedes ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ bzw. durch

${\displaystyle \|v\|_{\infty }=\max _{i=1}^{n}|v_{i}|}$

für ${\displaystyle p=\infty }$ eine Pseudonorm, die p-Pseudonorm erklärt. Damit diese Definition sinnvoll ist, sind die Pseudonormeigenschaften zu zeigen. Für den Nachweis der Dreiecksungleichung benutzt man die Minkowski-Ungleichung.

Eigenschaften

• Für ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty }$ gilt stets ${\displaystyle \|v\|_{q}\leq \|v\|_{p}}$.
• Für ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ gilt stets ${\displaystyle \|v\|_{p}\leq {\sqrt[{p}]{n}}\,\|v\|_{\infty }}$.

Anwendung

Ist ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$ ein unitärer Ring mit Pseudobetrag, so können wir die Polynomringe ${\displaystyle R[X]}$ oder ${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ und die Matrizenringe ${\displaystyle R^{m\times n}}$ auch als ${\displaystyle R}$-Module auffassen. Dies geschieht durch das „Hintereinanderschreiben“ der Koeffizienten. Damit können durch oben genannte Definition die ${\displaystyle p}$-Pseudonormen erklärt werden. Diese sind im Allgemeinen auf den Polynomalgebren und auf den Matrizenalgebren nicht submultiplikativ. Umso wertvoller sind folgende Spezialfälle:

• Die ${\displaystyle 1}$-Pseudonorm ist auf der Polynomalgebra ${\displaystyle R[X]}$ submultiplikativ.
• Für zwei multiplizierbare Matrizen ${\displaystyle A\in R^{l\times m}}$ und ${\displaystyle B\in R^{m\times n}}$ sowie gewählte ${\displaystyle p,q\in [1,\infty ]}$ mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ gilt

${\displaystyle \|AB\|_{p}\leq \|A\|_{p}\,\|B\|_{\min(p,q)}}$,

${\displaystyle \|AB\|_{p}\leq \|A\|_{\min(p,q)}\,\|B\|_{p}}$.

• Für den Beweis dieser Aussage verwendet man die Hölder-Ungleichung und die Minkowski-Ungleichung.
• Ist ${\displaystyle p\in [1,2]}$, so ist die ${\displaystyle p}$-Pseudonorm also submultiplikativ für alle multiplizierbaren Matrizen über ${\displaystyle R}$, und dies gilt insbesondere auf den Algebren ${\displaystyle R^{n\times n}}$ der quadratischen Matrizen.
• Beispiel für die ${\displaystyle 1}$-Pseudonorm: Ist R ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und M eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix über R mit den Zeilen ${\displaystyle M_{1},\dots ,M_{n}}$, so gilt die abgeschwächte Hadamard-Ungleichung ${\displaystyle \textstyle |\det M|\leq \prod _{i=1}^{n}\|M_{i}\|_{1}}$ mit der 1-Pseudonorm.

Anwendungen und Bedeutung

Assoziative Algebren

Auf assoziativen Algebren sind Strukturen, die gleichzeitig Norm- und Betragseigenschaften besitzen, relativ einfach zu klassifizieren: Sei ${\displaystyle A}$ eine assoziative ${\displaystyle R}$-Algebra über einem kommutativen unitären Ring ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$ mit Pseudobetrag.

• Ist ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine submultiplikative Pseudonorm auf ${\displaystyle A}$ als Modul, so ist ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ein Pseudobetrag auf ${\displaystyle A}$ als Ring.
• Ist ${\displaystyle \|\cdot \|}$ sogar eine multiplikative Pseudonorm, so ist ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ein Betrag auf ${\displaystyle A}$.

Iterativer Aufbau von Polynom- und Matrizenalgebren

Eine Vielzahl a​n wichtigen Komplexitätsabschätzungen i​n der Computeralgebra funktioniert für Pseudonormen i​n Matrizen- u​nd Polynomalgebren über Ringen m​it Pseudobetrag.

Zur Gewinnung solcher Abschätzungen d​ient häufig folgende iterative Konstruktion v​on assoziativen Algebren w​ie Polynom- u​nd Matrizenalgebren:

Ausgehend von einem Grundring R mit Pseudobetrag (das kann in der Praxis noch oft ein echter Betrag sein) sei eine assoziative R-Algebra A mit einer submultiplikativen Pseudonorm gegeben. Dann ist A insbesondere auch selbst ein Ring mit Pseudobetrag, über dem man wiederum Module, Polynom- und Matrizenringe betrachten kann. Auf diese Art ist zum Beispiel die iterative Konstruktion der Polynomalgebren ${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]=R[X_{1},\dots ,X_{n-1}][X_{n}]}$ möglich, wobei jede Zwischenalgebra selbst mit einer Pseudonorm ausgestattet ist.

Beispiel: Pseudodivision von Polynomen in mehreren Variablen

Sei R ein kommutativer unitärer Ring und ${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ die Polynomalgebra in n Variablen über R. Dann wird durch ${\displaystyle |f|:=2^{\operatorname {grad} f}}$ ein nicht-archimedischer Pseudobetrag auf dem Polynomring erklärt. Dabei sei ${\displaystyle \operatorname {grad} f}$ der totale Grad von f mit der zusätzlichen Konvention ${\displaystyle 2^{\operatorname {grad} (0)}=2^{-\infty }=0}$. Die Einschränkung dieses Pseudobetrags auf R ergibt den trivialen Pseudobetrag, der immer 1 ist mit Ausnahme der Null, die den Wert 0 erhält. Bezüglich dieses Pseudobetrags auf R ist der Betrag ${\displaystyle f\mapsto 2^{\operatorname {grad} f}}$ auch eine Norm auf ${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$, nun aufgefasst als R-Modul. Ist R zusätzlich ein Integritätsring, so ist ${\displaystyle f\mapsto 2^{\operatorname {grad} f}}$ sogar ein nicht-archimedischer Betrag auf dem Polynomring. Mit diesen Hilfsmitteln kann man eine wertvolle Abschätzung des Koeffizientenwachstums bei der „Pseudodivision mit Rest“ bezüglich einer Variablen von Polynomen in mehreren Variablen herleiten.

Literatur

• Jürgen Klose: Schnelle Polynomarithmetik zur exakten Lösung des Fermat-Weber-Problems. Hrsg.: Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg. Juli 1993. Hier S. 48–62.

Einzelnachweise

1. Vincenzo Ancona, Edoardo Ballico, A. Silva, Alessandro Silva (Hrsg.): Complex Analysis and Geometry. CRC Press, 1995, ISBN 978-0-8247-9672-3, S. 54 f.
2. L. A. Bokhut', I. V. L'vov, I. R. Shafarevich: Noncommutative Rings. In: A. I. Kostrikin, I. R. Shafarevich (Hrsg.): Algebra II. Springer, Berlin 1991 (englisch).
3. George E. Collins, Ellis Horowitz: The Minimum Root Separation of a Polynomial. In: Mathematics of Computation. Band 28, Nr. 126, April 1974, S. 589–597 (englisch).