Dirichletsche Etafunktion
In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der Riemannschen -Funktion.
Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta () notiert; die Dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet.
Definition
Die Dirichletsche -Funktion ist für alle komplexen mit Realteil größer als 0 definiert über die Dirichletreihe:
Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der -Funktion. Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene analytisch fortgesetzt werden, was eine Berechnung der -Funktion für alle beliebigen gewährleistet.
Euler-Produkt
Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die -Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen, die sich für formelhaft durch das Euler-Produkt
ausdrücken lässt.
Funktionalgleichung
In ganz gilt die Identität:
Verbindung zur Riemannschen ζ-Funktion
Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher und Riemannscher -Funktion lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der -Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu:
Daraus folgt der Zusammenhang:
der in ganz Gültigkeit behält.
Weitere Darstellungen
Integraldarstellung
Eine Integraldarstellung für alle enthält die Gammafunktion und lautet:
- .
Dies kann als Mellin-Transformation von verstanden werden. Gültig für alle ist:
Reihendarstellung
Eine in ganz konvergente Reihe ergibt sich mit Hilfe der eulerschen Reihentransformation:
Produktdarstellung
Für alle konvergiert das Hadamard-Produkt[1], benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard:
Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen der -Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der Zeta-Funktion ab.
Werte
Es gilt:
Für natürliche gilt mit den Bernoulli-Zahlen
Der Wert η(2) ergibt π²/12 und steht mit dem Basler Problem im Zusammenhang.
Mit dem Satz von Fubini kann dieser Wert bewiesen werden:
Für gerade Argumente gilt die allgemeine Formel:
Somit lässt sich der Zahlenwert von stets in der Form
schreiben, wobei und zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.
2n | pn | qn | |
---|---|---|---|
2 | 1 | 12 | 0,82246703342411321823… |
4 | 7 | 720 | 0,94703282949724591757… |
6 | 31 | 30240 | 0,98555109129743510409… |
8 | 127 | 1209600 | 0,99623300185264789922… |
10 | 73 | 6842880 | 0,99903950759827156563… |
12 | 1414477 | 1307674368000 | 0,99975768514385819085… |
14 | 8191 | 74724249600 | 0,99993917034597971817… |
16 | 16931177 | 1524374691840000 | 0,99998476421490610644… |
18 | 5749691557 | 5109094217170944000 | 0,99999618786961011347… |
20 | 91546277357 | 802857662698291200000 | 0,99999904661158152211… |
Die ersten Werte für ungerade Argumente sind
- (die alternierende harmonische Reihe)
Nullstellen
Aus der Relation
ist leicht zu folgern, dass sowohl für alle bei , als auch zusätzlich an denselben Stellen wie verschwindet. Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei , also
als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen .
Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.
Ableitung
Die Ableitung der -Funktion ist für wieder eine Dirichletreihe.
Ein geschlossener Ausdruck kann über
und unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.
Weiteres
Die Verwandtschaften von zu der Dirichletschen -Funktion[2] und der riemannschen -Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:[3]
bzw.
Die Dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:
Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta-Funktion:
Außerdem gilt
Literatur
- Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
- Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover, 1972.
- Konrad Knopp [1922]: Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2..
Einzelnachweise
- André Voros: More Zeta Functions for the Riemann Zeros (PDF; 182 kB), CEA, Service de Physique Théorique de Saclay (CNRS URA 2306), Seite 6.
- Eric W. Weisstein: Dirichlet Lambda Function. In: MathWorld (englisch).
- J. Spanier, K. B. Oldham: The Zeta Numbers and Related Functions. In: An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987.