Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac), mit Index definiert als

wobei die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

dann spricht m​an vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen sowie , sodass :

Näherung für F1/2

Das Integral lässt sich für verschiedene Wertebereiche von näherungsweise lösen:

Der relative Fehler dieser Näherungslösung beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei und bei ). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich durch zwei Funktionen annähern:

  für  
  für  

Darstellung mit Polylogarithmen

Mittels d​es Polylogarithmus k​ann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

.

Wegen

folgt daraus

.

Literatur

  • J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067-1076, 1982.
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