Plastische Zahl

Die Plastische Zahl ${\displaystyle \rho }$ (auch Plastikzahl) ist eine mathematische Konstante. Sie ist die eindeutige reelle Lösung der kubischen Gleichung

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$

Es gilt[1]

${\displaystyle \rho ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\cosh {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\text{arcosh}}{\bigl (}{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}{\bigr )}{\bigr ]}}$

Als Dezimalzahl beginnt die Plastische Zahl mit 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 ... (Folge A060006 in OEIS). Die Definition der Plastischen Zahl geht auf den niederländischen Architekten Hans van der Laan zurück[2]. Die Bezeichnung Plastikzahl ist irreführend und entspricht nicht der Intention van der Laans, denn nicht das Material Plastik, sondern die räumliche Ausdehnung (in der Architektur) war bestimmend für die Namensgebung „plastisch“[3].

Eigenschaften

Imaginäre Lösungen der genannten kubischen Gleichung

Die beiden konjugiert komplexen Lösungen von

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$

sind

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0{,}6626\pm 0{,}5623i}$

und lassen sich ebenfalls durch die Plastische Zahl ${\displaystyle \rho }$ ausdrücken:

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\rho \pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}}$

Da das Produkt der drei Lösungen der kubischen Gleichung gleich 1 ist, ist der Betragswert der komplexen Lösungen gleich  ${\displaystyle \rho ^{-1/2}\approx 0{,}86883696183}$  (Folge A191909 in OEIS).

Padovan-Folge

Die Plastische Zahl ist der Grenzwert der Quotienten sukzessiver Folgenglieder der Padovan-Folge[1]:

${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}$

Elliptische Lambdafunktion

Für folgende Gleichung aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art lässt sich die Lösung vereinfacht mit der plastischen Zahl darstellen:

${\displaystyle K({\sqrt {1-x^{2}}})/K(x)={\sqrt {23}}}$

${\displaystyle x=\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}}){\bigl [}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}{\bigr ]}^{4}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})[\rho ^{2}-(9\rho ^{2}-2\rho -6)/{\sqrt {23}}]^{4}=\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}}$

Dieser Wert ist der elliptische Lambda-Funktionswert von 23.

Aus diesem Resultat folgt:

${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{23}})=\cos {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(92)=\tan {\bigl [}{\frac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {4}{23}})=\tan {\bigl [}{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}}$

Bringsches Radikal

Die plastische Zahl selbst kann auch mit dem Bringschen Radikal dargestellt werden:

${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0}$

${\displaystyle (\rho ^{2}-\rho +1)(\rho ^{3}-\rho -1)=0}$

${\displaystyle \rho ^{5}-\rho ^{4}-1=0}$

${\displaystyle (1/\rho )^{5}+(1/\rho )-1=0}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{BR(1)}}}$

Denn grundsätzlich gilt für das Bringsche Radikal:

${\displaystyle BR(x^{5}+x)=x}$

Das Bringsche Radikal[4] ist nach Erland Samuel Bring benannt und ein bekanntes Lösungsverfahren für quintische Gleichungen in Bring-Jerrard-Form.

Siehe auch

• Supergoldener Schnitt
• Tribonacci-Folge
• Padovan-Folge
• Perrin-Folge

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Plastic Constant, In: MathWorld
2. Richard Padovan presents the plastic number, Nexus Network Journal
3. Dom H. van der Laan: Der Architektonische Raum. Leiden 1992.
4. Bring radical - formulasearchengine. Abgerufen am 16. Oktober 2021.