Plastische Zahl

Die Plastische Zahl ${\displaystyle \rho }$ (auch Plastikzahl) ist eine mathematische Konstante. Sie ist die eindeutige reelle Lösung der kubischen Gleichung

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$

Es gilt[1]

${\displaystyle \rho ={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\cosh {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\text{arcosh}}{\bigl (}{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}{\bigr )}{\bigr ]}}$

Als Dezimalzahl beginnt die Plastische Zahl mit 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 ... (Folge A060006 in OEIS). Die Definition der Plastischen Zahl geht auf den niederländischen Architekten Hans van der Laan zurück[2]. Die Bezeichnung Plastikzahl ist irreführend und entspricht nicht der Intention van der Laans, denn nicht das Material Plastik, sondern die räumliche Ausdehnung (in der Architektur) war bestimmend für die Namensgebung „plastisch“[3].

Eigenschaften

Imaginäre Lösungen der genannten kubischen Gleichung

Die beiden konjugiert komplexen Lösungen von

${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$

sind

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0{,}6626\pm 0{,}5623i}$

und lassen sich ebenfalls durch die Plastische Zahl ${\displaystyle \rho }$ ausdrücken:

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\rho \pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}}$

Da das Produkt der drei Lösungen der kubischen Gleichung gleich 1 ist, ist der Betragswert der komplexen Lösungen gleich  ${\displaystyle \rho ^{-1/2}\approx 0{,}86883696183}$  (Folge A191909 in OEIS).

Padovan-Folge

Die Plastische Zahl i​st der Grenzwert d​er Quotienten sukzessiver Folgenglieder d​er Padovan-Folge[1]:

${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}}$

Elliptische Lambdafunktion

Für folgende Gleichung a​us vollständigen elliptischen Integralen erster Art lässt s​ich die Lösung vereinfacht m​it der plastischen Zahl darstellen:

${\displaystyle K({\sqrt {1-x^{2}}})/K(x)={\sqrt {23}}}$

${\displaystyle x=\lambda ^{*}(23)={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}}){\bigl [}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}{\bigr ]}^{4}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{16{\sqrt {2}}}}(5+{\sqrt {23}})[\rho ^{2}-(9\rho ^{2}-2\rho -6)/{\sqrt {23}}]^{4}=\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}}$

Dieser Wert i​st der elliptische Lambda-Funktionswert v​on 23.

Aus diesem Resultat folgt:

${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{23}})=\cos {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(92)=\tan {\bigl [}{\frac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {4}{23}})=\tan {\bigl [}{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{4}}\arcsin {\bigl (}{\frac {1}{8}}\rho ^{-12}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}}$

Bringsches Radikal

Die plastische Zahl selbst k​ann auch m​it dem Bringschen Radikal dargestellt werden:

${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0}$

${\displaystyle (\rho ^{2}-\rho +1)(\rho ^{3}-\rho -1)=0}$

${\displaystyle \rho ^{5}-\rho ^{4}-1=0}$

${\displaystyle (1/\rho )^{5}+(1/\rho )-1=0}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{BR(1)}}}$

Denn grundsätzlich g​ilt für d​as Bringsche Radikal:

${\displaystyle BR(x^{5}+x)=x}$

Das Bringsche Radikal[4] i​st nach Erland Samuel Bring benannt u​nd ein bekanntes Lösungsverfahren für quintische Gleichungen i​n Bring-Jerrard-Form.

Siehe auch

• Supergoldener Schnitt
• Tribonacci-Folge
• Padovan-Folge
• Perrin-Folge

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Plastic Constant, In: MathWorld
2. Richard Padovan presents the plastic number, Nexus Network Journal
3. Dom H. van der Laan: Der Architektonische Raum. Leiden 1992.
4. Bring radical - formulasearchengine. Abgerufen am 16. Oktober 2021.